การกำหนดฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมผ่านชนิดข้อมูลทั่วไป

ฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมจะถูกกำหนดเหนือจำนวนธรรมชาติ อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าแนวคิดควรสรุปกับชนิดข้อมูลอื่น ๆ ทำให้ผู้ใช้สามารถพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมที่แม็พรายการกับต้นไม้ไบนารีตัวอย่างเช่น โดยการเปรียบเทียบฟังก์ชัน recursive บางส่วนเหนือจำนวนธรรมชาติทั่วไปฟังก์ชั่นการคำนวณในประเภทข้อมูลใด ๆ และฉันต้องการที่จะเข้าใจวิธีการทำให้ลักษณะทั่วไปเหมือนกันสำหรับฟังก์ชันเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

โดยสังเขปถ้าฉันต้องนิยามภาษาที่จำเป็นอย่างง่ายที่อนุญาตให้ดำเนินการขั้นพื้นฐานพูดรายการต่างๆ (เช่นการต่อข้อมูลจับหัวและส่วนท้ายการเปรียบเทียบองค์ประกอบ) และรูปแบบของการทำซ้ำที่ต้องรู้ล่วงหน้าว่าจะเกิดซ้ำกี่ครั้ง ( เช่นวนซ้ำองค์ประกอบในรายการที่ไม่เปลี่ยนรูป) จากนั้นภาษาดังกล่าวในที่สุดควรจะสามารถคำนวณฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมมากกว่ารายการ แต่ฉันจะเข้าใจสิ่งนี้อย่างเป็นทางการได้อย่างไรและโดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าภาษาของฉันคำนวณฟังก์ชันการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมทั้งหมดในรายการและไม่ใช่แค่ส่วนย่อยของพวกเขา

เพื่อความชัดเจนฉันสนใจในการทำความเข้าใจกับฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมว่าเป็นฟังก์ชั่นคลาสที่กำหนดไว้อย่างดี (ถ้าเป็นจริง) แทนที่จะเป็นเพียงการปฏิบัติการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม ฉันจะสนใจพอยน์เตอร์สำหรับทุกสิ่งที่เขียนบนการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมบนโครงสร้างข้อมูลทั่วไปหรือในบริบทอื่นนอกเหนือจากจำนวนธรรมชาติ

ปรับปรุง:ฉันอาจได้พบคำตอบในกระดาษที่เรียกว่า Walther Recursionโดย McAllester และ Arkoudas (การดำเนินการของCADE 1996 ) สิ่งนี้ดูเหมือนจะมีการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมแบบทั่วไปรวมถึงการเรียกซ้ำแบบ Walther ที่ทรงพลังกว่า ฉันตั้งใจจะเขียนคำตอบเองเมื่อฉันย่อเรื่องนี้ แต่ในระหว่างนี้บันทึกนี้อาจเป็นประโยชน์กับผู้อื่นด้วยคำถามเดียวกัน

computability

— นาธาเนียล
แหล่งที่มา

ไม่ชัดเจนสำหรับฉันในสิ่งที่คุณกำลังมองหา ดูเหมือนว่าคุณกำลังพยายามค้นหาประเภท Wแต่อาจไม่เป็นเช่นนั้น

— Andrej Bauer

มันอาจมีประโยชน์ที่จะทราบว่า "datatypes" ธรรมดา "(เหมือนต้นไม้) สามารถเข้ารหัสในวิธีที่ตรงไปตรงมาเป็นตัวเลขธรรมชาติจากนั้นฟังก์ชั่นการประชาสัมพันธ์เหนือธรรมชาติเป็นตัวแทนที่ดีในสิ่งที่คุณต้องการ อีกวิธีหนึ่งคุณสามารถใช้System T ของGödelขยายไปยังประเภทข้อมูลลำดับแรกที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดด้วยตัวเรียกซ้ำ "ปกติ"

— ดี้

คุณสามารถ จำกัด ประเภทของผลลัพธ์ของเครื่องมือกำจัดให้เป็นประเภทพื้นฐานหากคุณต้องการกำจัด "คุณสมบัติ" นี้

— ดี้

สำหรับฉันแล้วมันยังดูเหมือนว่ารูปแบบ W แบบ จำกัด คือสิ่งที่คุณกำลังมองหา บางอย่างเช่นประเภท W ที่มีการ จำกัด สาขาและผู้เรียกซ้ำ จำกัด เพื่อกำจัดประเภท W ที่ถูก จำกัด อื่น ๆ

— Andrej Bauer

การประชุม CADE 1996 เยี่ยมชมที่นี่: dblp.org/db/conf/cade/cade96

— John Fisher

คำตอบ:

โดยทั่วไปในภาษาที่มีประเภทข้อมูล (เช่นรายการต้นไม้ ฯลฯ ) มันง่ายที่จะอธิบายภาษาของฟังก์ชั่นที่มีพฤติกรรมเหมือนกับที่เราคาดหวังว่าการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมจะทำงาน

ตัวอย่างเช่นถ้าประเภทข้อมูลคือ $D$ และผู้สร้าง $c_1,\ldots, c_n$ มีประเภท

c_{i} : T_{1}^{i} \to T_{2}^{i} \to \dots \to T_{k_{1}}^{i} \to D \to \dots \to D

$c_i : T_1^i\rightarrow T_2^i\rightarrow \ldots\rightarrow T_{k_1}^i\rightarrow D\rightarrow\ldots\rightarrow D$

จากนั้นผู้เรียกซ้ำ $\mathrm{rec}_D^O$ สำหรับประเภทเอาท์พุท $O$ จะมีประเภท

{r e c}_{D}^{O} : (T_{1}^{1} \to \dots T_{k_{1}}^{1} \to D \to \dots \to D \to O \to \dots \to O) \to \dots \to D \to O

$\mathrm{rec}^O_D:(T_1^1\rightarrow\ldots T^1_{k_1}\rightarrow D\rightarrow \ldots\rightarrow D\rightarrow O\rightarrow \ldots\rightarrow O)\rightarrow\ldots\rightarrow D\rightarrow O$

และความหมายการดำเนินงานจะเป็น:

{r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} (c_{i} t_{1} \dots t_{k_{i}} d_{1} \dots d_{m}) \to f_{i} t_{1} \dots t_{k_{i}} ({r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} d_{1}) \dots ({r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} d_{m})

$\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ \ldots\ f_n\ (c_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ d_1\ldots d_m)\rightarrow\\ f_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots\ f_n\ d_1)\ldots (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots f_n\ d_m)$

แต่ละ $i$ .

บางสิ่งที่เต็มปาก! อย่างน้อยสำหรับตัวเลขธรรมชาติเราได้แน่นอน

{r e c}_{N}^{O} : (N \to O \to O) \to O \to N \to O

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$

{r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} 0 \to f_{1} 0

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ 0 \rightarrow f_1\ 0$ และ

{r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} (S n) \to f_{0} n ({r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} n)

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ (S\ n)\rightarrow f_0\ n\ (\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ n)$

ตามที่หวังไว้ (โปรดสังเกตว่าตัวสร้างศูนย์มีศูนย์อาร์กิวเมนต์!)

ถ้าตอนนี้เราอนุญาตให้มีฟังก์ชั่นและการคาดการณ์ที่คงที่ $\mathrm{rec}^O_D$ สำหรับประเภทที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่น $O$ แล้วคุณมีการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมอย่างแน่นอน

มั่นใจถ้าทั้งหมด $T^j_i$ s นั้นไม่สามารถใช้งานได้เช่นกันจากนั้นการเข้ารหัสGödelปกติของประเภทข้อมูลจะให้ฟังก์ชันเรียกซ้ำแบบเดิม

มันจะดีถ้ามีคำอธิบายที่หรูหรากว่าของกระบวนการนี้ ว่าเป็นคำตอบที่คาร์ลอมาใน: ประเภทข้อมูลเหล่านี้สามารถอธิบายได้มากขึ้นอย่างหรูหราในหมวดหมู่ทฤษฎีเป็นจีบราเริ่มต้นของ functors บางอย่างมักจะเรียกว่าfunctors พหุนาม ผู้เรียกซ้ำนั้นเป็นเพียงตัวแปรที่เริ่มต้นของพีชคณิตนี้บางครั้งเรียกว่าcatamorphismโดยคนที่พยายามทำให้เกิดความสับสน morphism นี้มีอยู่โดยการสร้างพีชคณิตเริ่มต้น

ความแปรปรวนเป็นตัวแปรเฉพาะที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้น

— Cody
แหล่งที่มา

ฉันกลัวว่านี่ค่อนข้างจะเกินตัว ทำไมเราถึงหวังที่จะได้รับ

{r e c}_{N}^{O} : (N \to O \to O) \to O \to N \to O

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$ เป็นลายเซ็นประเภท? นั่นหมายความว่ามันหมายถึงการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมโดยอัตโนมัติหรือไม่? (ฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการจินตนาการว่ามันสามารถอ่านได้จากฟังก์ชั่นประเภทใด) ฉันคุ้นเคยกับทฤษฎีการพิมพ์จนถึงระดับที่ฉันสามารถโปรแกรมใน Haskell แต่ฉันไม่คุ้นเคยกับพิธีการของคุณ กำลังใช้ที่นี่ ฉันจะไปอ่านพื้นหลังให้มากพอเพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่คุณเขียนได้อย่างไร

— นาธาเนียล

ประเภทของ

{r e c}_{N}

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}$ ติดตามจากสคีทั่วไปทั่วไปด้านบน มันหมายถึงการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมเพราะความหมายการดำเนินงานหมายถึงการดำเนินการเรียกซ้ำจากนิยามของฟังก์ชั่นการประชาสัมพันธ์ ฉันยังไม่ได้อธิบายความหมายในการดำเนินงานดังนั้นฉันจะขยายความคิดเห็นของฉัน

— ดี้

ฉันไม่มีการอ้างอิงเบื้องต้นใด ๆ ถึงแม้ว่าฉันเดาว่าสไลด์เหล่านี้จะให้คำแนะนำที่นุ่มนวลและบทที่ 3 ของวิทยานิพนธ์ของราล์ฟแมตเตสได้กล่าวถึงรายละเอียดทางเทคนิคจำนวนมาก

— ดี้

ฉันเพิ่งถามคำถามนี้มากและฉันพบบทความที่น่าสนใจหลายประการ:

Logical Inductively นำเสนอ Finitary : (a) กำหนดตรรกะที่ให้ความคิดทั่วไปของการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมมากกว่าประเภทข้อมูลใด ๆ ที่ตอบสนองความต้องการบางอย่าง (b) พิสูจน์ตรรกะนี้เป็นส่วนขยายอนุรักษ์ของคณิตศาสตร์แบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

ความซับซ้อนของโปรแกรมลูป : พิสูจน์ความคิดของโปรแกรมลูปเทียบเท่ากับฟังก์ชันการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

โปรแกรมลอจิกสำหรับชุดการเรียกซ้ำดั้งเดิม : พิสูจน์ว่าคลาสของโปรแกรมลอจิกเทียบเท่ากับฟังก์ชันการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

การพิสูจน์ลักษณะทางทฤษฎีของฟังก์ชั่นชุดแบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม : พิสูจน์ฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมทั้งหมดผ่านชุดที่กำหนดเป็นเพียงฟังก์ชั่นที่นิยามได้ในทฤษฎีเซตที่อ่อนแอมาก

— Stephen Skeirik
แหล่งที่มา

บางทีคุณคิดว่าแนวคิดของการparamorphism ?

จากฟังก์ชั่นการเขียนโปรแกรมด้วยกล้วย, เลนส์, ซองจดหมายและลวดหนาม :

สำหรับตัวเลขธรรมชาติการแปรผันเป็นฟังก์ชัน $h = (b, \oplus)$ ของแบบฟอร์ม

\begin{aligned} h 0 & = b \\ h (n + 1) & = n \oplus (h n) \end{aligned}

$\begin{align} h\; 0 &= b \\ h\; (n + 1) &= n \oplus (h\; n) \end{align}$

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันแฟกทอเรียลมี $b = 1$ และ $n \oplus m = (n + 1) \times m$ .

สำหรับรายการ paramorphism จะเป็นหน้าที่ $h$ ของแบบฟอร์ม

\begin{aligned} h nil & = b \\ h (cons a b) & = a \oplus (b, h b) \end{aligned}

$\begin{align} h\; \textsf{nil} &= b \\ h\; (\textsf{cons}\; a\; b) &= a \oplus (b, h\; b) \end{align}$

— user76284
แหล่งที่มา