การบำรุงรักษาค่าของพหุนามผ่านอินพุตที่อัพเดตแบบไดนามิก

10

ให้เป็นพหุนามในฟิลด์ จำกัด แน่นอน สมมติว่าเราจะได้รับค่าของในบางเวกเตอร์และเวกเตอร์Y $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

ตอนนี้เราต้องการคำนวณค่าของบนเวกเตอร์ซึ่งและแตกต่างกันในตำแหน่งเดียว (ในคำอื่น ๆ เราพลิกหนึ่งบิตใน ) พื้นที่และเวลาแลกเปลี่ยนกันสำหรับปัญหานี้คืออะไร $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

ตัวอย่างเช่นถ้าคือจำนวน monomials ในเราสามารถจัดเก็บค่าสัมประสิทธิ์และค่านิยมของ monomials ทั้งหมดในPหากถูกพลิกเราจะแก้ไขค่าของแต่ละ monomial ที่มีแล้วตามด้วยค่าของโดยใช้ข้อมูลที่เก็บไว้ โดยรวมแล้วเราต้องการเวลาและพื้นที่ $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(ฉันไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับวิธีที่เราระบุ monomials ที่มีเพื่อจุดประสงค์คุณสามารถเลือกการแสดงที่เหมาะสมของในตัวอย่างที่ฉันคิดว่าเราเก็บรายการ monomials ที่มีสำหรับแต่ละ ) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

มีอะไรที่ดีกว่านี้อีกไหม

polynomials dynamic-algorithms

— Tatiana Starikovskaya
แหล่งที่มา

7

ความคิดของคุณสรุปดังต่อไปนี้: กำหนดวงจรพีชคณิต (เหนือขอบเขต จำกัด ) หรือวงจรบูลีน (คำนวณการแสดงบิตที่ชาญฉลาดขององค์ประกอบฟิลด์ จำกัด ของคุณ) คำนวณจากนั้นรักษาค่าที่แต่ละประตูในวงจร เมื่อคุณเปลี่ยนบิต -th ของเพียงแค่เผยแพร่การเปลี่ยนแปลงที่พร้อม DAG ของวงจรเริ่มต้นจากการป้อนข้อมูลy_iถ้าวงจรมีขนาดนี้จะใช้เวลาเวลาและพื้นที่ นี่อาจเล็กกว่าจำนวน monomials (ซึ่งสอดคล้องกับขนาดของวงจรพีชคณิตเชิงลึกเพียง 2) $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่แน่ใจว่านี้เป็นความจงใจ แต่ปัญหาไม่ได้บอกว่าเรากำลังได้รับเพียง(y)

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Andrew Morgan

1

@AndrewMorgan ขึ้นอยู่กับแอปพลิเคชันของคุณสำหรับของฉันมันก็ดีที่จะถือว่า y ได้รับ ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น!

— Tatiana Starikovskaya

2

@AndrewMorgan: จริง ๆ แล้วในขณะที่นี่เป็นความจริงทางเทคนิควิธีการสร้างตัวอย่างใน OQ เป็นประโยคดูเหมือนจะโดยปริยายสมมติว่าจะได้รับ ถ้าไม่ได้รับผมคิดว่าปัญหานี้จะกลายเป็นมากหนัก (Tatiana มันอาจคุ้มค่าที่จะเพิ่มสิ่งนี้เพื่ออธิบายคำถาม)

y

$y$

y

$y$

— Joshua Grochow

5

เป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ไขวิธีการจัดเก็บ monomial ของคุณเพื่อให้การอัปเดตแต่ละครั้งใช้เวลาเพียงสัดส่วนกับจำนวน monomials ที่เปลี่ยนแปลง: เพียงอัปเดตมูลค่าพหุนามทั้งหมดโดยการเพิ่มค่าใหม่และลบค่าเก่าสำหรับแต่ละ monomial ที่เปลี่ยนไป

หากคุณมีสูตรอ่านครั้งเดียวสำหรับ (เช่นทุกตัวแปรปรากฏที่ลีฟเดียวของทรีสูตรและแต่ละโหนดภายในเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สองอินพุตเช่นบวกหรือครั้ง) คุณสามารถรักษาค่าของในลอการิทึม เวลาต่อการอัปเดตโดยใช้ทรีrake-compressเหนือสูตร การนำแนวทางนี้ไปใช้กับสูตรโดยพลการเวลาที่จะปรับปรุงตัวแปรที่ปรากฏจะเป็นโดยที่คือขนาดของสูตร ดังนั้นยกเว้น log factor สิ่งนี้ทำให้ขอบเขตของจำนวน monomials เปลี่ยนไปและนำไปใช้กับการขยายพหุนามแบบทั่วไปมากขึ้นในสูตร $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— David Eppstein
แหล่งที่มา