ลำดับชั้นในภาษาปกติ

มีลำดับชั้น "ดี" เป็นที่รู้จักหรือไม่ (อาจมี จำกัด ) ภายในชั้นเรียนของภาษาปกติหรือไม่ โดยที่นี่ชั้นเรียนในแต่ละลำดับชั้นจับความหมาย / พลังงาน / ความซับซ้อนที่แตกต่างกัน นอกจากนี้การเป็นสมาชิกของแต่ละชั้นก็มีองค์ประกอบบางอย่างที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน (ซึ่งแตกต่างจากปัญหาระดับความสูงของดาวที่อาจเป็นปัญหา)$L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$$L$

ขอขอบคุณ!

นี่คือรายการของลำดับชั้นที่น่าสนใจหลายแห่งซึ่งบางส่วนถูกกล่าวถึงแล้วในคำตอบอื่น ๆ

1. ลำดับชั้นการต่อข้อมูล

ภาษาเป็นสินค้าที่มีการทำเครื่องหมายของถ้า สำหรับตัวอักษรบางa_n ลำดับชั้นการต่อข้อมูลจะถูกกำหนดโดยการสลับการดำเนินงานบูลีนและการดำเนินการพหุนาม (= ยูเนี่ยนและผลิตภัณฑ์ที่ทำเครื่องหมาย) ลำดับชั้น Straubing-Thérien (จุดเริ่มต้นและลำดับชั้นความลึกจุด (จุดเริ่มต้นเป็นประเภทนี้ แต่คุณสามารถรับจุดเริ่มต้นอื่น ๆ ได้โดยเฉพาะภาษากลุ่ม (ภาษาที่ยอมรับโดยหุ่นยนต์เปลี่ยนรูปแบบ)L 0 , L 1 , ... , L n L = L 0 1 L 1 ⋯ n L n 1 , ... , n { ∅ , * } ) { ∅ , { 1 } , + , * } $L$$L_0, L_1, \ldots, L_n$$L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$$a_1, \ldots, a_n$$\{\emptyset, A^*\})\ $$\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\ $

2. ลำดับชั้นความสูงของดาว

รูปแบบทั่วไปคือการนับจำนวนดาวที่ซ้อนกันน้อยที่สุดที่จำเป็นในการแสดงภาษาที่เริ่มต้นจากตัวอักษร แต่มีหลายรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผู้ให้บริการพื้นฐานที่คุณอนุญาต หากคุณอนุญาตให้มีการรวมกันและผลิตภัณฑ์เท่านั้นคุณจะกำหนดความสูงของดาวที่ถูก จำกัด หากคุณอนุญาตให้มีการรวมกันเป็นส่วนประกอบและผลิตภัณฑ์คุณจะกำหนดความสูงของดาว (ทั่วไป) และถ้าคุณอนุญาตให้มีการรวมตัว . มีภาษาที่ถูก จำกัด เป็นดาวทุกและมีประสิทธิภาพสามารถคำนวณดาวที่มีความสูงของภาษาปกติที่กำหนด สำหรับดาวความสูงดาวความสูงนั้นสามารถถอดรหัสได้ ( ภาษาที่ไม่มีดาว ) มีภาษาที่มีความสูงดาวn 0 1 $n$$n$$0$$1$แต่ไม่เป็นที่รู้จักในภาษาระดับความสูง ! ไม่พบผลลัพธ์บนดาวกลางระดับสูง ดูกระดาษนี้สำหรับภาพรวม$2$

3. ลำดับชั้นแบบลอจิคัล

มีหลายคน แต่หนึ่งในสิ่งที่สำคัญที่สุดคือลำดับชั้นที่เรียกว่าสูตรมีการกล่าวถึงว่าเป็นรูปแบบถ้ามันเทียบเท่ากับสูตรของแบบฟอร์มโดยที่ไม่มีปริมาณและเป็นลำดับบล็อกของปริมาณเช่นบล็อกแรกมีเพียงปริมาณที่มีอยู่ (โปรดทราบว่าบล็อกแรกนี้อาจว่างเปล่า), บล็อกที่สองสากลปริมาณและอื่น ๆ ในทำนองเดียวกันถ้าคือ รูปแบบของบล็อกสลับปริมาณเริ่มต้นด้วยการบล็อกของปริมาณสากล (อีกครั้งซึ่งอาจจะเป็นที่ว่างเปล่า) เราบอกว่าΣ n Q ( x 1 , . . . , x k ) ไวไวQ ( x 1 , . . . , x k ) n Q ( x 1 , . . . , x k ) n ไวΠ n Σ n Π n Σ n Π n B Σ n Σ n $\Sigma_n$$\Sigma_n$$Q(x_1,...,x_k)\varphi$$\varphi$$Q(x_1,...,x_k)$$n$$Q(x_1,...,x_k)$$n$$\varphi$คือ Pi_n - รูปแบบ แสดงโดย (resp. ) คลาสของภาษาที่สามารถกำหนดได้โดย -formula (resp. -formula) และโดยการปิดบูลีนของ -languages . สุดท้ายให้\ ภาพทั่วไปดูเหมือนว่าสิ่งนี้ จำเป็นต้องระบุลายเซ็น โดยปกติจะมีกริยาสำหรับแต่ละตัวอักษร (และหมายความว่ามีจดหมายในตำแหน่งในคำ) จากนั้นหนึ่งสามารถเพิ่มสัญลักษณ์ไบนารี$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\mathcal{B}\Sigma_n$$\Sigma_n$ x x < M o d $\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$$\mathbf{a}$$\mathbf{a}x$$a$$x$$<$(ลำดับชั้นที่สอดคล้องกันคือลำดับชั้น Straubing-Thérien) และยังเป็นสัญลักษณ์ของผู้สืบทอด (ลำดับชั้นที่สอดคล้องกันคือลำดับชั้นของจุดลึก) ความเป็นไปได้อื่น ๆ ได้แก่ predicate เพื่อนับ moduloเป็นต้นดูบทความนี้อีกครั้งสำหรับภาพรวม$Mod$$n$

4. บูลีนลำดับชั้น

รูปแบบทั่วไป (ซึ่งไม่เฉพาะเจาะจงกับภาษาปกติ) เป็นเพราะ Hausdorff ปล่อยให้เป็นคลาสของภาษาที่มีชุดว่างและชุดเต็มและปิดภายใต้จุดตัดที่แน่นอนและสหภาพที่ จำกัด ปล่อย เป็นคลาสของภาษาทั้งหมดในรูปแบบ ที่และX_n ตั้งแต่การเรียน กำหนดลำดับชั้นและสหภาพของพวกเขาคือการปิดแบบบูลของD n ( L ) X = X 1 - X 2 + ⋯ ± X n X i ∈ L X 1 ⊇ X 2 ⊇ X 3 ⊇ ⋯ ⊇ X N D n ( L ) ⊆ D n + 1 ( L ) D n ( L ) $\mathcal{L}$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

$$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$$ $X_i\in \mathcal{L}$$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$. อีกครั้งจุดเริ่มต้นที่หลากหลายเป็นไปได้

5. ความซับซ้อนของกลุ่ม

ผลที่ได้จากKrohn-Rhodes (1966) ระบุว่า DFA ทุกคนสามารถจำลองได้ด้วยการตั้งค่าใหม่ (เรียกอีกอย่างว่า flip-flop) ออโตมาตะและออโตมาตาซึ่งเซกชั่นการเปลี่ยนสถานะเป็นกลุ่ม จำกัด ความซับซ้อนของกลุ่มของภาษาคือจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดที่เกี่ยวข้องในการสลายตัวของ DFA น้อยที่สุดของภาษา ภาษาที่มีความซับซ้อนเป็นภาษาที่ปราศจากดาวและมีภาษาที่มีความซับซ้อนใด ๆ อย่างไรก็ตามยังไม่มีตัวละครที่มีประสิทธิภาพของภาษาของความซับซ้อนเป็นที่รู้จักกัน$0$$1$

6. ลำดับชั้นได้รับมรดกมาจากความซับซ้อนของวงจร

จุดเริ่มต้นคือบทความที่ดีซึ่งแสดงโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าคลาสสามารถตัดสินใจได้ ให้โดยที่\} ถ้าแบ่งแล้ว(Q) คำถามที่น่าสนใจคือการรู้ว่าสามารถนำไปใช้กับได้หรือไม่A C 0 ∩ R E G A C C ( q ) = { L ⊆ { 0 , 1 } ∗ ∣ L ⩽ A C 0 M O D q } M O D q = { u ∈ { 0 , 1 } ∗ ∣ | คุณ| 1 ≡ 0 mod q $[1]$$AC^0 \cap Reg$$ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$$MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$q ′ A C C ( q ) ⊆ A C C ( q ′ ) A C C ( q ) ∩ R e g $q$$q'$$ACC(q) \subseteq ACC(q')$$ACC(q) \cap Reg$$q$

N C $[1]$ Barrington, David A. Mix; คอมป์ตันเควิน; โฮลดิ้ง Straubing; เธรียงเดนิส ภาษาประจำใน 1 เจคอมพิวเตอร์ ระบบวิทย์ 44 (1992)$NC^1$

การขยายความคิดเห็น: ลำดับชั้นตามธรรมชาติคือสิ่งที่ถูกเหนี่ยวนำโดยจำนวนสถานะของ DFA

เราสามารถกำหนด$\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( , )| Q | = $D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$$|Q| = n$

ชัดเจน (ใช้สถานะตาย)$\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

เพื่อแสดงการรวมเราสามารถเลือกภาษา: L n + 1 ={ a ฉัน ∣ฉัน≥n}∈ L n + $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$$L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

อย่างไม่เป็นทางการมาก: (ขั้นต่ำ) DFA ที่รู้จักต้องเป็น "สายโซ่รัฐ" ที่มีความยาว : ,และ (มีการวนรอบตัวเอง) ดังนั้นรัฐมีพอที่จะยอมรับ1} แต่ทุกเส้นทางที่ยอมรับจากไปจนถึงสถานะสุดท้ายซึ่งสั้นกว่าอย่างเคร่งครัดต้องยอมรับมีซึ่งไม่ได้เป็นของดังนั้น DFA ที่มีหรือ สถานะน้อยลงไม่สามารถยอมรับได้n + 1 Q 0 → Q 1 → . . → a q n F = { q n } q n → a q n q n n + 1 L n + 1 q 0 q f n + 1 a i i < n L $\{ a^{i} \mid i \geq n \}$$n+1$$q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$$F = \{q_n\}$$q_n \to^a q_n$$q_n$$n+1$$L_{n+1}$$q_0$$q_f$$n+1$$a^{i}$$i < n$$L_{n+1}$$n$$L_{n+1}$1}

ฉันเพิ่งเจอบทความนี้ซึ่งอาจเป็นอีกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง (เปรียบเทียบประโยคสุดท้ายของนามธรรม):

Guillaume Bonfante, Florian Deloup: ประเภทของภาษาปกติ

จากนามธรรม:บทความกำหนดและศึกษาประเภทของขอบเขต จำกัด รัฐออโตมาตา (FSA) และภาษาปกติ อันที่จริง FSA สามารถมองเห็นได้เป็นกราฟที่ความคิดของพืชและสัตว์เกิดขึ้น ในเวลาเดียวกัน FSA มีความหมายผ่านภาษาพื้นฐาน มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเชื่อมโยงระหว่างภาษากับความคิดของพืชและสัตว์ หลังจากที่เราแนะนำและปรับแนวคิดของประเภทสำหรับภาษาปกติ [... ] เราสร้างภาษาปกติของสกุลใหญ่โดยพลการ: ความคิดของสกุลนั้นกำหนดลำดับชั้นที่เหมาะสมของภาษาปกติ

มีลำดับชั้นตามธรรมชาติหลายประการสำหรับภาษาปกติของคำที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งถ่ายทอดความคิดของ "ความซับซ้อนของภาษา" เช่น:

• จำนวนอันดับที่ต้องการในหุ่นยนต์แบบพาริตี้
• ลำดับขั้น Wadge (หรือ Wagner): ความซับซ้อนของโทโพโลยี,ระดับ$\omega^\omega$

ลำดับชั้นเหล่านี้สามารถวางนัยสำหรับภาษาปกติของต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีลำดับชั้นใหม่ปรากฏขึ้นให้ดูตัวอย่างคำตอบนี้