การจับคู่รูปแบบโดยไม่สนใจ: หลายรูปแบบ

กระดาษ SODA 2 หน้าของ Kalaiให้อัลกอริธึมที่ง่ายและมีประสิทธิภาพสำหรับการจับคู่รูปแบบโดยไม่ต้องสนใจ (wildcard ที่ตรงกับอักขระหนึ่งตัว) ในสาระสำคัญมันเป็นเรื่องง่ายเหมือนการโน้มน้าวใจ

แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากเราค้นหาลวดลายหลาย ๆรูปแบบโดยไม่สนใจ? เราสามารถยังคงแก้ปัญหาด้วยเทคนิคที่อิงกับ FFT ได้หรือไม่?

สำหรับกรณีที่มีรูปแบบหลากหลายดูเหมือนว่าการสแกนหาแต่ละอย่างอาจเป็นทางออกที่ดีที่สุดอย่างน้อยที่สุดเว้นแต่ว่าสมมติฐานเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่แข็งแกร่งจะล้มเหลว

จำได้ว่าชุดที่กำหนด $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ และ $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ เหนือจักรวาล $[m]$ถ้าเราสามารถตัดสินใจได้ว่ามี $S_i$ และ $T_j$ ดังนั้น $S_i \cup T_j = [m]$ ภายในเวลาที่กำหนด $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$จากนั้น SETH ล้มเหลวนั่นคือเรามีอัลกอริทึม CNF-SAT พร้อมเวลาทำงาน $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$.

ชุดที่กำหนด $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ และ $T_1, T_2, \dotsc, T_n$เราเข้ารหัสปัญหาข้างต้นเนื่องจากการจับคู่หลายรูปแบบโดยไม่สนใจตัวอักษรไบนารีดังต่อไปนี้:

• ข้อความคือ $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ ที่ไหน $[T_i]$ เป็นการเข้ารหัสตามธรรมชาติของ $T_i$ เป็นสตริงไบนารี
• เรามี $n$ รูปแบบของรูปแบบ $1\langle S_i \rangle 1$ที่ไหน $\langle S_i \rangle$ เป็นสตริง $y = y_1y_2\dots y_m$ ดังนั้น $y_j = 1$ ถ้า $j \notin S_i$ และ $y_j = *$ ถ้า $j \in S_i$ (ที่นี่ $*$ เป็นสัญลักษณ์ที่ไม่สนใจ)

ตอนนี้มันชัดเจนว่าเป็นรูปแบบ $1\langle S_i \rangle 1$ สามารถจับคู่ข้อความเมื่อมีเหตุการณ์ $1[T_j]1$และเฉพาะเมื่อ $S_i \cup T_j = [m]$. ความยาวรวมของรูปแบบและความยาวของข้อความมีทั้ง$O(nm)$ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึม single-pass ใกล้เชิงเส้นสำหรับหลายรูปแบบจะให้การปรับปรุงที่สำคัญกว่าอัลกอริทึม CNF-SAT ที่รู้จักกันดี ...

(โปรดทราบว่านี่ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่ใช้เวลามากมายในการประมวลผลรูปแบบล่วงหน้าพูดเป็นกำลังสองในความยาวทั้งหมดของรูปแบบ)