ความสอดคล้องสัมพัทธ์ของ PA และทฤษฎีบางประเภท

สำหรับทฤษฎีประเภทโดยความสอดคล้องฉันหมายความว่ามันมีประเภทที่ไม่ได้อาศัยอยู่ จากการฟื้นฟูที่แข็งแกร่งของแลมบ์ดาคิวบ์นั้นจะตามมาว่าระบบ$F$และระบบ$F_\omega$นั้นสอดคล้องกัน MLTT + อุปนัยประเภทนี้ยังมีหลักฐานการฟื้นฟู อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้ควรมีพลังมากพอที่จะสร้างแบบจำลองของ PA ซึ่งพิสูจน์ว่า PA นั้นสอดคล้องกับทฤษฎีเหล่านี้ ระบบ$F$คือมีประสิทธิภาพมากดังนั้นผมจึงคาดว่าจะสามารถที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องของ PA โดยการสร้างรูปแบบการใช้เลขคริสตจักร MLTT + IT มีตัวเลขอุปนัยตามธรรมชาติและควรพิสูจน์ความสอดคล้องเช่นกัน

ทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับทฤษฎีเหล่านี้ไม่สามารถนำมาใช้ภายใน PA ได้ ดังนั้น:

1. ระบบ$F$ , ระบบ$F_\omega$ , และ MLTT + IT สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของ PA ได้จริงหรือไม่?
2. หากสามารถทำได้แล้วจำเป็นต้องมีอภิธานศัพท์อะไรบ้างที่จะพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับระบบ$F$ , $F_\omega$ , และ MLTT + IT?
3. มีการอ้างอิงที่ดีสำหรับทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีประเภททั่วไปหรือสำหรับทฤษฎีประเภทเหล่านี้โดยเฉพาะหรือไม่?

คำตอบสั้น ๆ สำหรับคำถามของคุณ 1 คือไม่แต่ด้วยเหตุผลที่ลึกซึ้ง

แรกของทุกระบบและF ωไม่สามารถแสดงความทฤษฎีลำดับแรกของเลขคณิตและแม้แต่น้อยความสอดคล้องของ$F$$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

ประการที่สองและนี่เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจจริงๆสามารถพิสูจน์ได้ว่าทั้งสองระบบมีความสอดคล้องกัน! สิ่งนี้กระทำโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าการพิสูจน์แบบไม่เกี่ยวข้องซึ่งตีความประเภทเป็นเซต∈ { ∅ , { ∙ } } , โดยที่∙เป็นองค์ประกอบจำลองที่แสดงถึงผู้อาศัยที่ไม่ใช่ประเภทว่างเปล่า จากนั้นหนึ่งสามารถเขียนลงกฎง่ายๆสำหรับการดำเนินงานของ→และ∀ประเภทดังกล่าวค่อนข้างง่ายที่จะได้รับแบบจำลองสำหรับระบบFซึ่งในประเภท∀ X Xตีความโดย$\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$$F$$\forall X.X$$\varnothing$. เราสามารถทำสิ่งที่คล้ายกันสำหรับโดยใช้ความระมัดระวังมากขึ้นในการตีความชนิดที่สูงขึ้นเป็นช่องว่างของฟังก์ชันที่ จำกัด$F_\omega$

มีความขัดแย้งที่เห็นได้ชัดที่นี่ซึ่งสามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบที่ทรงพลังเหล่านี้ได้$\mathrm{PA}$

$p$$\phi$$p\Vdash \phi$$\phi$$p$$p\not\Vdash\bot$

ทฤษฎีบท: ถ้าเป็นทฤษฎีบทที่ 2 เพื่อเลขคณิตแล้วมีบางคำที่ปิดของระบบดังกล่าวว่า$\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$$F$

$$t\Vdash\phi$$

ทฤษฎีนี้สามารถพิสูจน์ได้ในดังนั้นเราจึงมี และการโต้แย้งของGödel (และไม่สามารถพิสูจน์มาตรฐานของระบบ ) ได้ มันมีประโยชน์ที่จะทราบว่าหมายกลับถือเช่นกันดังนั้นเรามีลักษณะที่แน่นอนของการใช้พลังงานพิสูจน์ทฤษฎีที่จำเป็นในการพิสูจน์การฟื้นฟูระบบF$\mathrm{PA}$

$$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$$ $\mathrm{PA}$$F$$F$

มีเรื่องเล่าที่คล้ายกันสำหรับระบบซึ่งผมเชื่อว่าสอดคล้องกับการที่สูงขึ้นเลขคณิต\$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

---

ในที่สุดเรามีกรณี MLTT ที่มีประเภทอุปนัย ที่นี่อีกครั้งปัญหาที่ค่อนข้างบอบบางเกิดขึ้น แน่นอนที่นี่เราสามารถแสดงความสอดคล้องของดังนั้นจึงไม่เป็นปัญหาและไม่มีรูปแบบที่ไม่เกี่ยวข้องพิสูจน์ตามที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีองค์ประกอบอย่างน้อย 2 ( จำนวนที่ไม่ จำกัด ขององค์ประกอบที่แตกต่างจริง)$\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

อย่างไรก็ตามเราพบกับความจริงที่น่าประหลาดใจของทฤษฎี intuitionistic ที่สูงขึ้น:รุ่นที่สูงขึ้นของ Heyting Arithmetic จะอนุรักษ์มากกว่า ! โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของ (ซึ่งเทียบเท่ากับ ) เหตุผลที่ใช้งานง่ายสำหรับเรื่องนี้ก็คือฟังก์ชั่นพื้นที่ intuitionistic ไม่อนุญาตให้คุณที่จะหาจำนวนกว่าเซตโดยพลการของเนื่องจากทุกฟังก์ชั่นที่กำหนดจะต้องคำนวณ$\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่คิดว่าคุณสามารถพิสูจน์ความมั่นคงของหากคุณเพิ่มเฉพาะจำนวนธรรมชาติให้กับ MLTT ที่ไม่มีจักรวาล ฉันเชื่อว่าการเพิ่มจักรวาลหรือประเภท "อุปนัย" (เช่นประเภทลำดับ) จะทำให้คุณมีพลังมากพอ แต่ฉันเกรงว่าฉันไม่มีการอ้างอิงสำหรับสิ่งนี้ กับจักรวาลอาร์กิวเมนต์ดูเหมือนว่าค่อนข้างง่ายเนื่องจากคุณมีการตั้งทฤษฎีพอที่จะสร้างรูปแบบของ{}$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

---

ในที่สุดการอ้างอิงสำหรับทฤษฎีการพิสูจน์ของระบบพิมพ์: มีช่องว่างในวรรณกรรมที่นี่ฉันคิดว่าและฉันจะเพลิดเพลินกับการรักษาที่สะอาดของวิชาเหล่านี้ทั้งหมด (อันที่จริงฉันฝันที่จะเขียนมันด้วยตัวเองบางวัน!) ในระหว่างนี้:

• แบบจำลองที่ไม่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ถูกอธิบายไว้ที่นี่โดย Miquel และ Werner แม้ว่าพวกเขาจะทำเพื่อแคลคูลัสแห่งการก่อสร้างซึ่งค่อนข้างซับซ้อนกว่า

• อาร์กิวเมนต์ realizability ถูกร่างในการพิสูจน์แบบดั้งเดิมและประเภทของ Girard, Taylor และ Lafont ฉันคิดว่าพวกเขายังร่างแบบจำลองที่ไม่เกี่ยวข้องและมีประโยชน์มากมาย อาจเป็นข้อมูลอ้างอิงแรกที่อ่าน

• อาร์กิวเมนต์การอนุรักษ์ของเลขคณิต Heyting ที่สูงกว่าสามารถพบได้ในConstructivismเล่มที่สองที่ยากจะอธิบายในวิชาคณิตศาสตร์โดย Troelstra & van Dalen (ดูที่นี่ ) ทั้งสองเล่มมีข้อมูลมาก แต่ค่อนข้างยากที่จะอ่านสำหรับผู้เริ่มหัด IMHO มันค่อนข้างจะหลีกเลี่ยงวิชาทฤษฎี "สมัยใหม่" ซึ่งไม่น่าแปลกใจเมื่ออายุของหนังสือ

---

คำถามเพิ่มเติมในความคิดเห็นเกี่ยวกับความมั่นคงที่แน่นอน / ความแข็งแกร่งของการทำให้ปกติของ MLTT + Inductives ฉันไม่มีคำตอบที่ชัดเจนที่นี่ แต่แน่นอนคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนของจักรวาลและลักษณะของครอบครัวอุปนัยที่ได้รับอนุญาต RATHJEN สำรวจคำถามนี้ในกระดาษที่ยอดเยี่ยมความแข็งแรงของบางทฤษฎีมาร์ตินลอฟ-ประเภท

การวางมาตรฐานของ Wrt ความคิดพื้นฐานคือถ้าสำหรับ 2 ทฤษฎีและเรามี $\cal{T}$$\cal{U}$

$$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$$

จากนั้นโดยทั่วไป

$$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$$

โดยที่ 1-มีความสอดคล้องกัน 1 ระดับและคือการทำให้เป็นมาตรฐาน (อ่อนแอ)$\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

MLTT + ประเภทของจำนวนธรรมชาติ (และการเรียกซ้ำ) เป็นส่วนขยายของพรรคซึ่งได้รับการพิสูจน์ใน Besson ซ้ำรุ่นสำหรับทฤษฎีชุดสร้างสรรค์$\mathrm{HA}_\omega$

สำหรับ MLTT ที่มีการเหนี่ยวนำซ้ำซ้อนหรือการเหนี่ยวนำเหนี่ยวนำฉันไม่ทราบว่าสถานการณ์คืออะไรและ AFAIK ปัญหาของความมั่นคงที่แน่นอนยังคงเปิดอยู่