มีภาษาที่สมบูรณ์แบบ NP ซึ่งประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของอินสแตนซ์ n-bit อย่างแม่นยำหรือไม่?

มี (โดยปกติแล้วเป็นภาษาธรรมชาติ) - สมบูรณ์เช่นนี้สำหรับทุก ๆ หรือไม่ ในคำอื่น ๆมีอย่างแม่นยำครึ่งหนึ่งของทั้งหมดกรณีบิต $L\subseteq \{0,1\}^*$ $n\geq 1$

| L \cap {0, 1}^{n} | = 2^{n - 1}

$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$

L

$L$

n

$n$

cc.complexity-theory np np-complete

— Andras Farago
แหล่งที่มา

จะน่าแปลกใจมากถ้าไม่มี แต่คิดเกี่ยวกับมันสำหรับไม่กี่นาทีไม่สามารถหาการก่อสร้าง

— Kaveh

FWIW มีตัวเช่นนั้นคือ NP-hard และใน NP / POLY ...

L

$L$

— Neal Young

สำหรับ bijective encoding binaryของสูตร CNF,น่าพอใจไม่น่าพอใจควรทำงาน

e

$e$

{e (φ) 1 | φ

$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$

} \cup {e (φ) 0 | φ

$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$

}

$\}$

— Klaus Draeger

@KlausDraeger Unsatisfiability ไม่ใช่คุณสมบัติ NP ยกเว้นว่า NP = co-NP

— Andras Farago

มี oracleใดที่ไม่มีด้วยคุณสมบัตินี้หรือไม่?

O

$O$

L \in {N P - C o m p l e t e}^{O}

$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— Erfan Khaniki

คำตอบ:

ผมถามคำถามนี้ไม่กี่ปีที่ผ่านมาและโบอาส Barak บวกตอบมัน

คำสั่งนี้เทียบเท่ากับการมีอยู่ของภาษา NP-completeโดยที่คำนวณได้แบบพหุนามเวลา $L$ $|L_n|$

พิจารณาสูตรบูลีนและ SAT การใช้การเติมเต็มและการปรับเปลี่ยนการเข้ารหัสของสูตรเล็กน้อยทำให้เรามั่นใจได้ว่า และมีความยาวเท่ากัน $\varphi$ $\lnot \varphi$

ให้เป็นการเข้ารหัสที่ $\langle\ \rangle$

สำหรับสูตรทั้งหมดและสำหรับการมอบหมายความจริงทั้งหมด , . $\varphi$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
$|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$ คำนวณได้แบบพหุนามเวลา
จำนวนของสูตรที่มีความยาวที่เข้ารหัสได้คือสามารถคำนวณได้จากพหุนาม $n$

พิจารณา

L := {⟨ φ ⟩ ∣ φ \in S A T} \cup {⟨ φ, τ ⟩ ∣ τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ}

$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$

มันง่ายที่จะเห็นว่านั้นสมบูรณ์ NP $L$

ถ้าจำนวนความจริงที่ได้รับมอบหมายพอใจ เท่ากับจำนวนความจริงที่น่าพอใจ การมอบหมาย . เพิ่มตัวเองมันจะเพิ่มขึ้นไปยังหมายเลขของความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายความจริงสำหรับ\ $\varphi \in \mathsf{SAT}$

τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ

$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$

- 1

$- 1$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

มีมอบหมายความจริง แต่ละจะตอบสนองหรือ (ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง) สำหรับทุกสูตรให้พิจารณาสตริง , , และ สำหรับ|} ว่าเหล่านี้สตริงในLซึ่งหมายความว่าจำนวนของสตริงความยาวใน $2^{|\varphi|}$ $\tau$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ $\varphi$ $2(2^{|\varphi|}+1)$ $\langle\varphi\rangle$ $\langle\lnot \varphi\rangle$ $\langle\varphi, \tau\rangle$ $\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|+1}+2$ $L$ $n$ $L$ คือจำนวนสูตรของความยาวที่เข้ารหัสคูณด้วยซึ่งคำนวณได้จากพหุนาม $\varphi$ $n$ $2^{|\varphi|}$

— Ryan O'Donnell
แหล่งที่มา

แม้ว่านี่จะเป็นโซลูชันที่ต้องการ แต่นี่เป็นคำตอบสำหรับลิงค์เท่านั้น

— user2943160

เพื่อความชัดเจนไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับ SAT สิ่งนี้จะทำงานร่วมกับตัวตรวจสอบคำกริยาสำหรับปัญหา NP-complete

— Kaveh

@Kaveh คุณไม่ได้ใช้ทรัพย์สินเฉพาะของ SAT ที่นี่หรือว่ามีคู่ ,ที่พยานเป็นพยานในหนึ่งในสองของคู่นี้? คุณจะทำเช่นนั้นได้อย่างไรเช่น 3-COLOR

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot \phi$

τ

$\tau$

— Neal Young

@ เป็นจริงให้ V (x, y) เป็นตัวตรวจสอบปัญหา NP-complete พิจารณา W (x, b, y): = V (x, y) = b มันยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์และแต่ละ y เป็นพยานสำหรับ x, 0 หรือ x, 1 ไม่ค่อยดีเท่า SAT เลย

— Kaveh

@Kaveh เช่นกับ SAT คุณแนะนำ แต่นั่นคือใน P และถ้าคุณพยายามที่จะแก้ไขโดยการรวมกับพูดว่าสหภาพเป็นทั้ง NP-hard และ co-NP-hard (น่าจะไม่ใช่ใน NP) แก้ไข: โอ้ฉันเข้าใจแล้วคุณหมายถึงการรวมกลุ่มกับพูดว่า ...

A = {(ϕ, b, τ) : (τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1} ?

$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$

B = {(ϕ, b) : τ \in S A T \leftrightarrow b = 1}

$B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$

A \cup B

$A\cup B$

A

$A$

C = {(ϕ, b) : \exists τ . [(τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1]}

$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

— Neal Young

นี่เป็นคำแนะนำว่าทำไมมันอาจเป็นเรื่องยากที่จะหาตัวอย่างเช่นนี้แม้ว่าฉันจะเห็นด้วยกับความคิดเห็นของ Kaveh ว่ามันน่าแปลกใจหากไม่มี [ไม่ใช่คำตอบ แต่นานเกินไปสำหรับความคิดเห็น]

สมมติว่าคนที่บอกว่าฉันขึ้นมาด้วยเช่นภาษาLวิธีที่เป็นธรรมชาติสำหรับฉันที่จะพิสูจน์ว่าคือการสร้างอย่างชัดเจน bijection ระหว่างและL เนื่องจากโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถตัดสินใจอินสแตนซ์ของปัญหาได้ยาก bijections "แบบง่าย" ส่วนใหญ่ที่ฉันจะได้รับจะมีรูปแบบ "เป็น bijection รักษาความยาวและถ้าหาก " นอกจากนี้ฉันมีแนวโน้มที่จะเกิดที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม แต่แล้ว $L$ $L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$ $L \cap \{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n \backslash L$ $\mathsf{NP}$ $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $x \in L$ $f(x) \notin L$ $f$ $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ สำหรับคือการลดลงจาก - การตั้งค่าที่สมบูรณ์แบบเป็น - ที่สมบูรณ์ $f$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

แน่นอนการคัดค้านนี้สามารถทำได้โดย "เพียงแค่" ที่มีความเอนเอียงยากที่จะคำนวณได้มากกว่านั้น หากการอ้างสิทธิ์ของคุณต้องใช้เวลาชี้แจง - พูดและสิ่งที่ตรงกันข้ามอาจเป็น - ยาก - แล้วฉันคิดว่าคุณปลอดภัยแล้ว แต่ถ้าใช้เวลาพูดเวลากึ่งพหุนามทราบว่าคุณยังได้รับผลจากที่ผมเชื่อว่ามันจะตามด้วยการเหนี่ยวนำที่เรียบง่ายด้วยการโต้แย้ง padding ว่า{} ทีนี้ถ้าคุณเชื่อว่าการกักกันก่อนหน้านี้เป็นเท็จเพียงแค่นั้นการไม่อ้างถึงสิ่งที่คำนวณได้แบบกึ่งเวลาเช่นนั้นสามารถช่วยคุณได้ แต่แม้ว่าคุณจะเชื่อว่ามันอาจจะเป็นจริงจากนั้นก็ขึ้นมาด้วย bijection ดังกล่าวคุณจะพิสูจน์ $\mathsf{EXP}$ $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ ซึ่งดูเหมือนจะเกินความรู้ในปัจจุบัน ...

การคัดค้านนั้นสามารถทำได้โดยไม่ต้องมีความลำเอียง แต่ก็ยากที่จะดูว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่ามีคุณสมบัติที่ต้องการในตอนแรก ... และในความเป็นจริงแม้ว่าหลักฐานของคุณจะไม่ใช่ bijection คุณจะต้องเป็นกรณีที่ไม่มี bijection ที่คำนวณได้ง่ายเช่นนี้ $L$

แน่นอนว่านี่เป็นประเภทของสิ่งที่ใครบางคนจะมาพร้อมกับตัวอย่างและเราจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่ามันได้รับการคัดค้านอย่างไร แต่ฉันแค่อยากจะโยนมันออกไปที่นั่นเพื่อพูดว่าอะไรที่มี bijection ง่ายพอ ไม่ทำงาน (เว้นแต่ความเชื่อที่ถือกันอย่างกว้างขวางเป็นเท็จ)

(คำถามที่เกี่ยวข้อง: มี oracle เทียบกับที่ไม่มีดังกล่าวหรือไม่) $L$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา