ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทของ Dilworth สำหรับป้ายกำกับ DAG

antichainในDAG เป็นส่วนหนึ่ง⊆ Vของจุดที่ไม่สามารถเข้าถึงคู่คือไม่มีวี≠ วี' ∈ดังกล่าวว่าโวลต์สามารถเข้าถึงได้จากโวลต์'ในE จากทฤษฎีบทของดิลเวิร์ ธในทฤษฎีลำดับบางส่วนเป็นที่รู้กันว่าถ้า DAG ไม่มีแอนติเชนขนาดk ∈ Nจากนั้นมันสามารถย่อยสลายในสหภาพที่มีโซ่แยกส่วนk - 1มากที่สุดคือเส้นทางชี้นำ$(V, E)$$A \subseteq V$$v \neq v' \in A$$v$$v'$$E$$k \in \mathbb{N}$$k-1$

$v$$\lambda(v)$$\Sigma$$A \subseteq V$$\Sigma$$A$$\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ฉันจะเดาได้อย่างไรเกี่ยวกับโครงสร้างของมัน ฉันสามารถย่อยสลายมันด้วยวิธีพิเศษได้ไหม? ฉันงงกับกรณีของ , แต่ก็สนใจในกรณีของชุดฉลาก จำกัด ทั่วไป$\Sigma = \{a, b\}$

เพื่อให้เห็นภาพนี้สำหรับ , บอกว่าไม่มี antichain ที่มีป้ายกำกับขนาดหมายความว่าไม่มี antichain ที่มีอย่างน้อย vertices ที่ติดป้ายและ vertices ที่ติดป้าย ; สามารถมีได้ antichains ขนาดใหญ่โดยพลการ แต่พวกเขาต้องมีเพียงองค์ประกอบหรือเฉพาะองค์ประกอบถึงข้อยกเว้นที่มากที่สุด ดูเหมือนว่าการไม่อนุญาต antichains ขนาดใหญ่ควรบังคับใช้ว่า DAG จะ "สลับ" ระหว่างส่วนต่าง ๆ ของความกว้างขนาดใหญ่สำหรับจุดยอดที่ป้ายกำกับและความกว้างขนาดใหญ่สำหรับ$\Sigma = \{a, b\}$$G$$k$$k$$a$$k$$b$$a$$b$$k-1$$a$$b$จุดยอดที่มีป้ายกำกับ แต่ฉันไม่สามารถทำให้เป็นสัญชาตญาณนี้ได้ (แน่นอนว่าลักษณะโครงสร้างที่เหมาะสมจะต้องพูดคุยเกี่ยวกับฉลากของจุดยอดนอกเหนือจากรูปร่างของ DAG เพราะสำหรับและบนสภาพเป็นที่พึงพอใจโดยDAG โดยพลการอย่างสมบูรณ์ทุกครั้งที่ทั้งหมด จุดยอดถือฉลากเดียวกัน)$k \geq 1$$\{a, b\}$

กับชาร์ลส์ Papermanเราได้รับสามารถที่จะได้รับผลดังกล่าวสำหรับ DABs ความกำกับด้วยตัวอักษร\} โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่าได้รับ DAGที่มี antichains ใหญ่ขององค์ประกอบ -labeled, antichains ใหญ่ของ -labeled องค์ประกอบ แต่ไม่มี antichains ขนาดใหญ่ที่มีทั้งหลาย-labeled และองค์ประกอบ -labeled แล้วมีการสลายตัวของเป็นพาร์ติชันโดยที่:$\{a, b\}$$G$$a$$b$$a$$b$$G$$L_1, \ldots, L_n$

• พาร์ติชันคือสิ่งที่เราเรียกว่า "เลเยอร์" เช่น: $L_1, ..., L_n$
  • แต่ละชุดนูนคือกล่าวคือถ้าและแล้ว$L_i$$x, y \in L_i$$x \leq z \leq y$$z \in L_i$
  • สำหรับทั้งหมดไม่มีและที่$i < j$$x \in L_i$$y \in L_j$$y \leq x$
• สำหรับ antichain ใดของมีบางอย่างดังกล่าวว่าคือ "เกือบจะมี" ในคือน้อยกว่าค่าคงที่$A$$G$$i$$A$$L_i$$|A \setminus L_i|$
• สำหรับแต่ละข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: $L_i$
  • $L_i$มี antichain ใหญ่ขององค์ประกอบ -labeled และไม่มี antichain ใหญ่ขององค์ประกอบ -labeled$a$$b$
  • $L_i$มี antichain ใหญ่ขององค์ประกอบ -labeled แต่ไม่มี antichain ใหญ่ขององค์ประกอบ -labeled$b$$a$

นอกจากนี้สามารถคำนวณพาร์ติชันใน PTIME ได้

ผมได้โพสต์หลักฐานในปัจจุบันของเราทางออนไลน์ มันหยาบมากและไม่มีการพิสูจน์อักษรเป็นหลักเพราะเราไม่ได้ใช้สำหรับผลลัพธ์ในตอนนี้ แต่ฉันก็ยังคิดว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะเพิ่มคำตอบสำหรับคำถาม CStheory นี้กับความก้าวหน้าในปัจจุบันของเรา อย่าลังเลที่จะติดต่อกับฉันถ้าคุณสนใจผลลัพธ์ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้