Euclidean TSP ใน NP และความซับซ้อนของรากที่สอง

ในบันทึกการบรรยายนี้โดย Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfมีการกล่าวกันว่าเราไม่รู้ว่า Euclidean TSP อยู่ใน NP:

สาเหตุที่เราไม่รู้วิธีคำนวณรากที่สองอย่างมีประสิทธิภาพ

ในทางตรงกันข้ามมีกระดาษนี้โดย Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123บอกว่ามันเป็น NP- สมบูรณ์ซึ่งหมายความว่ามันเป็นใน NP แม้ว่าเขาจะไม่ได้พิสูจน์มันในกระดาษ แต่ฉันคิดว่าเขาคิดว่าการเป็นสมาชิกในเรื่องไร้สาระเป็นเรื่องปกติ

ฉันสับสนกับสิ่งนี้ สุจริตการกล่าวอ้างว่าเราไม่รู้ว่า Euclidian TSP อยู่ใน NP ทำให้ฉันตกใจเพราะฉันเพิ่งคิดว่ามันไม่สำคัญ - การทัวร์ TSP เป็นหนังสือรับรองเราสามารถตรวจสอบได้อย่างถูกต้องว่าเป็นทัวร์ที่ถูกต้อง แต่ปัญหาคือสามารถมีรากที่สองได้บ้าง ดังนั้นการบรรยายโดยทั่วไปอ้างว่าเราไม่สามารถในเวลาพหุนามแก้ปัญหาต่อไปนี้:

ได้รับหมายเลขเหตุผลตัดสินใจว่า$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

คำถามที่ 1:เรารู้อะไรเกี่ยวกับปัญหานี้

สิ่งนี้มีความเรียบง่ายดังต่อไปนี้ซึ่งฉันไม่สามารถหาได้:

คำถามที่ 2:สิ่งนี้สามารถลดลงได้ในกรณีพิเศษหรือไม่เมื่อนี่เป็นกรณีพิเศษเวลาพหุนามแก้ได้หรือไม่?$n=1$

ฉันคิดถึงเรื่องนี้ซักพักแล้ว เราต้องการความซับซ้อนของเวลาพหุนามที่เกี่ยวกับจำนวนบิตของอินพุตเช่นไม่ใช่ขนาดของตัวเลข เราสามารถหาผลรวมกับจำนวนทศนิยมแบบพหุนามได้อย่างง่ายดาย เพื่อให้ได้กรณีที่ไม่ดีเราต้องการอินสแตนซ์ของสำหรับเช่นนั้นสำหรับพหุนามทุกตัวมีจำนวนเต็มที่และเห็นด้วยกับตัวเลขตัวแรกของ การขยายทศนิยม$q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

คำถามที่ 3:มีตัวอย่างของจำนวนที่มีเหตุผลหรือไม่?

แต่คืออะไร ขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงจำนวนตรรกยะ! ตอนนี้ฉันอยากรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้:$\text{input-size}$

คำถามที่ 4:อัลกอริทึมมีความสำคัญหรือไม่หากจำนวนตรรกยะให้เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น ) หรือในการขยายทศนิยม (เช่น )? กล่าวอีกนัยหนึ่งมีครอบครัวของตัวเลขที่มีเหตุผลเช่นนั้นขนาดของการขยายทศนิยมไม่ถูก จำกัด ขอบเขตในพหุนามในขนาดของการแสดงอัตราส่วนหรือวิธีอื่น ๆ ?$24/13$$2.5334\overline{567}$

ไตรมาสที่ 1 นี่เป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียง มันเป็นที่รู้จักที่จะอยู่ในระดับที่สี่ของลำดับชั้นของการนับเนื่องจาก[ABKM] ไม่ทราบว่าอยู่ใน NP ปัญหาไม่ได้เกิดขึ้นจริงในการคำนวณสแควร์รูทตามที่อ้างไว้ในบันทึกการบรรยาย: บิตของสแควร์รูทของจำนวนเต็มสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามในและบิตของจำนวนเต็ม ปัญหาคือว่าผลรวมของสแควร์รูทของจำนวนเต็มใกล้กับจำนวนเต็มมากแค่ไหน$n$$n$

ไตรมาสที่ 2 กรณีเป็นหลักสูตรที่ง่าย มันเหมือนกับซึ่งอยู่ในเวลาพหุนามเพราะการหารจำนวนตรรกยะนั้นอยู่ในเวลาพหุนามq ≤ A $n=1$$q \le A^2$

ไตรมาสที่ 3 ตามหน้านี้สิ่งที่ดีที่สุดที่รู้จักคือมีจำนวนทั้งหมดระหว่างถึงเช่น3/2}) นี่เป็นขอบเขตล่างของกับจำนวนบิตที่ต้องคำนวณสำหรับปัญหาที่อาจเกิดขึ้นยากขึ้นซึ่งช่วยให้สัมประสิทธิ์เชิงลบ ที่ดีที่สุดของขอบเขตบนของจำนวนบิตคือการชี้แจงในk 1 n | ∑ k i = 1$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$Ω(2kบันทึกn)$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

ไตรมาสที่ 4 ฉันคิดว่าการแทนค่าทศนิยมอาจไม่มีประสิทธิภาพ ความยาวของช่วงเวลาคือลำดับการคูณของ 10 โมดูโลตัวส่วนซึ่งสามารถอธิบายได้ในจำนวนบิตของตัวส่วน

คุณเขียน:

ในทางตรงกันข้ามมีกระดาษนี้โดย Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123บอกว่ามันเป็น NP- สมบูรณ์ซึ่งหมายความว่ามันเป็นใน NP แม้ว่าเขาจะไม่ได้พิสูจน์มันในกระดาษ แต่ฉันคิดว่าเขาคิดว่าการเป็นสมาชิกในเรื่องไร้สาระเป็นเรื่องปกติ

ทำไมคุณไม่เพียงแค่อ่านกระดาษแทนที่จะโพสต์เรื่องไร้สาระเรียกร้อง? ในหน้า 239 Papadimitriou อภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้และกำหนดตัวแปรพื้นฐานของ Euclidean metric สำหรับการพิสูจน์ของเขา