การสุ่มแบบสุ่ม (พิสูจน์ได้) สามารถแทนที่ด้วยการสุ่ม Kolmogorov สำหรับ RP ได้หรือไม่?

มีความพยายามใด ๆ ที่จะแสดงให้เห็นว่าการสุ่ม KolmogorovจะเพียงพอสำหรับRPหรือไม่? ความน่าจะเป็นที่ใช้ในคำสั่ง "ถ้าคำตอบที่ถูกต้องคือใช่แล้วมัน (เครื่องทัวริงน่าจะเป็น) จะส่งคืน YES ด้วยความน่าจะเป็น ... " จะถูกกำหนดไว้อย่างดีเสมอในกรณีนั้นหรือไม่ หรือจะมีขอบเขตบนและล่างสำหรับความน่าจะเป็นนั้นเท่านั้น หรือว่าจะมีเครื่องทัวริงที่น่าจะเป็นไปได้เสมอซึ่งความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้อย่างดี (หรืออย่างน้อยก็ขอบเขตล่างที่ควรใหญ่กว่า 1/2)

คลาส RP ที่นี่ค่อนข้างไม่มีกฎเกณฑ์และเราก็สามารถถามคำถามนี้สำหรับความคิดที่อ่อนแอกว่าของการสุ่ม (หลอก) กว่า Kolmogorov randomness แต่การสุ่ม Kolmogorov น่าจะเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

การทำความเข้าใจกับคำว่า "ความน่าจะเป็น" จะเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าการสุ่ม Kolmogorov นั้นใช้งานได้กับ RP อย่างไรก็ตามขอให้ฉันพยายามอธิบายวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้เพื่อชี้แจงความหมายและทำไมฉันถึงพูดถึงขอบเขตบนและล่าง:

Letเป็น (Kolmogorov สุ่ม) สตริง ให้เป็นเครื่องทัวริงที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกับภาษาจาก RP รันด้วยเป็นซอร์สสำหรับบิตสุ่มครั้งดำเนินการต่อเพื่อกินบิตที่ไม่ได้ใช้ก่อนหน้านี้จากหนึ่งหลังจากที่อื่นA A s n $s$$A$$A$$s$$n$$s$

สำหรับให้และพี _- ^ s = \ liminf_ {n \ to \ infty} p_n ^ s สังเกตว่าP + _ ^ sและพี _- ^ sมีการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับสตริงที่กำหนดsแม้ว่ามันจะไม่เป็นแบบสุ่ม แต่บางคนอาจสงสัยว่าพี _ + ^ s p = _- ^ sในกรณีที่เป็น Kolmogorov สุ่มหรือไม่ว่าพี _- ^ {s_1} p = _- ^ {s_2}สองพล Kolmogorov สตริงสุ่มs_1และs_2 หรือไม่ว่าจะมีp \ geq 1/2เช่นนั้นp \ leq p _- ^ sสำหรับสตริงสุ่ม Kolmogorov ใด ๆ$p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$$p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$$p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$$p_+^s$$p_-^s$$s$$p_+^s=p_-^s$$s$$p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$$s_1$$s_2$$p\geq 1/2$$p\leq p_-^s$$s$ .

ฉันคิดว่าคำถามที่ถูกถามนี่คือคร่าวๆ " มีความรู้สึกไหมที่เราสามารถแทนที่ลำดับของบิตสุ่มในอัลกอริทึมด้วยบิตที่ดึงออกมาจากสตริงสุ่ม Kolmogorov ที่เหมาะสมเป็นเวลานาน " นี่เป็นคำถามที่ฉันจะพยายาม ตอบ! (คำตอบสั้น ๆ คือ "ใช่ แต่ถ้าคุณขยายความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดก่อน")

ใช่...

แน่นอนเราสามารถพูดอะไรบางอย่างที่นี่ ให้เป็นภาษาและให้เป็นอัลกอริธึมที่ใช้เป็นอินพุตและสตริงสุ่ม (การกระจายแบบสม่ำเสมอเหนือ ) เซนต์(x) ในคำอื่น ๆเป็นอัลกอริทึมที่ errs กับความน่าจะเป็นที่มากที่สุดcdot)$L$$A$$x$$r\in U_{f(|x|)}$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$$A$$\epsilon(\cdot)$

ขอให้สังเกตว่าถ้าให้คำตอบที่ผิดกับเช่นสิ่งนี้ทำให้เรามีวิธีการอธิบายโดยเฉพาะเราสามารถอธิบายได้ว่าเป็นสตริงที่ทำให้ผิดพลาดในในการทำเช่นนี้เราเพียงสร้างเครื่องจักรที่มีรหัสตายตัว , ,และบิตและระบุตัวเลือกของจากจนกว่าจะพบเลือกที่ -th ของดังกล่าวที่b$A$$(x,r)$$A(x,r)\not=L(x)$$r$$i$$A$$x.$$x$$A$$i$$b=1\iff x\in L$$r'$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$i$$r'$$A(x,r')\not= b$

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเราสามารถใช้ประโยชน์จากการเป็นตัวเลือกสตริงสุ่มแบบสุ่มให้เป็นคำอธิบายได้ลองสังเกตเงื่อนไขบางอย่างที่เพียงพอสำหรับการเปลี่ยนคำอธิบายของเป็นการบีบอัด ในการอธิบายเราต้องการบิตมากพอที่จะอธิบาย , ,และจากนั้นโค้ดสำหรับโพรซีเดอร์ของเรา (รหัสสำหรับและรูทีนที่เราอธิบาย) ให้คำอธิบายความยาว$r$$r$$x$$i$$b$$A$

จำได้ว่าคือความยาวดังนั้นนี่คือการบีบอัดของ ifตัวอย่างเช่นเมื่อ|}$r$$f(|x|)$$r$

ในที่สุดสังเกตว่าถ้าเป็นสตริงสุ่ม Kolmogorov ดังนั้นเราอาจไม่มีการบีบอัดเช่นนี้ตราบใดที่ความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดของมีขนาดเล็กเพียงพอสตริงสุ่ม Kolmogorov แทนที่ลำดับสุ่มบิตจะทำให้ตอบ ได้อย่างถูกต้อง!$r$$A$$A$

ขอให้สังเกตว่าสิ่งเดียวที่เราใช้ประโยชน์เกี่ยวกับคือความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดของมันมีขนาดเล็ก เราไม่สนใจว่ามีเวลาทำงานนานมากหรือมีข้อผิดพลาดด้านหนึ่งหรือสองข้อ$A$$A$$A$

นำสิ่งนี้กลับไปสู่คำถามของ (หรือหรือ ) สิ่งนี้บอกว่าตราบใดที่เราขยายความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดของอัลกอริทึมของเราเราสามารถใช้สตริงสุ่ม Kolmogorov แทนบิตสุ่มของพวกเขา$RP$$coRP$$BPP$

... แต่ถ้าเราขยายก่อน

คำถามติดตามอาจเป็น "ฉันสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยไม่ต้องขยายความน่าจะเป็นข้อผิดพลาด?" พิจารณาขั้นตอนวิธีการดังต่อไปนี้ที่ตัดสินใจและมีข้อผิดพลาดน่าจะเป็น n$A$$\{0,1\}^*$$1/2^n$

ในอินพุต :$x$

• สร้างสตริง$r\in\{0,1\}^n$
• ถ้าปฏิเสธ$r=x$
• ยอมรับ.

ขอให้สังเกตว่าสำหรับทางเลือกของทุกมีทางเลือกบางส่วนของดังกล่าวว่าerrs บนคือทางเลือกของที่เป็นดังนั้นเราจึงไม่สามารถแทนที่การสุ่มลำดับบิตที่ใช้โดยกับสตริงแบบสุ่ม Kolmogorov โดยไม่ต้องขยาย มันน่าจะเป็นข้อผิดพลาด!$r$$x$$A$$x$$r$ $x$$A$

หมายเหตุเกี่ยวกับแหล่งที่มา: ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้เป็นเรื่องแปลกใหม่หรือไม่ แต่ฉันรวมอาร์กิวเมนต์แรกในการเขียนของฉันสำหรับการสอบที่มีคุณสมบัติเหมาะสมซึ่งในที่สุดจะพร้อมใช้งานออนไลน์หลังจากที่ฉันแก้ไขเสร็จ