หมวดหมู่ "เครื่องจักรทัวริง" หรือไม่?

คำเตือน: ฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อน

ฉันขอโทษ แต่ไม่มีทางที่จะถามคำถามนี้โดยไม่ย่อท้อ (ชะมัด):

Morphisms ในหมวด "เครื่องจักรทัวริง" ควรเป็นอย่างไร

เห็นได้ชัดว่าเป็นอัตนัยและขึ้นอยู่กับการตีความทฤษฎีดังนั้นคำตอบของคำถามนี้ควรให้หลักฐานและเหตุผลสนับสนุนคำตอบด้วยเช่นกัน

ฉันต้องการที่จะเน้นจุดที่ฉันกำลังมองหาหมวดหมู่ของเครื่องทัวริงไม่ได้มาจากภาษาที่เป็นทางการเช่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดว่าสัณฐานของฉันควรมีข้อมูลที่ดีขึ้นแล้วลดลงหรืออะไรเช่นนั้น (ฉันไม่แน่ใจว่า)

แน่นอนถ้ามีหมวดหมู่ที่เป็นที่รู้จักและใช้กันอยู่แล้วในวรรณคดีฉันอยากรู้ว่ามันคืออะไร

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— Saal Hardali
แหล่งที่มา

คุณพูดมันเอง - ฟังก์ชั่นคำนวณ

— Yuval Filmus

@ ราฟาเอลสิ่งที่คุณไม่เคยกำหนดโครงสร้างจริงๆจนกว่าคุณจะใส่ไว้ในหมวดหมู่ นั่นคือเมื่อคุณสมบัติที่ไม่จำเป็นของคำจำกัดความเฉพาะถูกถอดออกไป

— Saal Hardali

@Salalardard โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกคนที่สมัครรับสัญญาแห่งความรอดโดยนักทฤษฎีหมวดหมู่ ในความเป็นจริงหลายคนกลอกตา

— Raphael

@JoshuaGrochow มีซึ่มส์ที่มีข้อความเป็นจากเพื่อถ้าลดเพื่อ (หรืออาจจะเป็นวิธีอื่น ๆ ) นั่นคือ(x)) นี่คือการพูดสำหรับเครื่องจักรที่อินพุตทุกหยุดหรือไม่ แต่ไม่มีเอาต์พุตเพิ่มเติม

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— Yuval Filmus

นอกเหนือจาก: ทำไม TM ควรเป็นวัตถุ พวกเขาอาจเป็น morphisms

— Martin Berger

คำตอบ:

Saal Hardali กล่าวว่าเขาต้องการประเภทของเครื่องจักรทัวริงทำเรขาคณิต (หรืออย่างน้อยทฤษฎี homotopy) ใน. อย่างไรก็ตามมีหลายวิธีในการบรรลุเป้าหมายที่คล้ายกัน

มีความคล้ายคลึงกันอย่างมากระหว่างการคำนวณและทอพอโลยี สัญชาตญาณคือการเลิกจ้าง / การทำลายล้างเป็นเหมือนพื้นที่ Sierpinski เนื่องจากการเลิกจ้างนั้นสามารถสังเกตได้อย่างชัดเจน (เช่นเปิด) และการกำจัดไม่ใช่ไม่ใช่ (ไม่ใช่เปิด) ดูบันทึกการบรรยายของ Martin Escardo โทโพโลยีสังเคราะห์ของชนิดข้อมูลและช่องว่างแบบคลาสสิกสำหรับการแนะนำที่นุ่มนวล แต่ครอบคลุมในระดับปานกลางเกี่ยวกับแนวคิดเหล่านี้
ในการคำนวณแบบพร้อมกันและแบบกระจายมันมักจะมีประโยชน์ในการคิดว่าการประมวลผลที่เป็นไปได้ของโปรแกรมเป็นช่องว่างและจากนั้นข้อ จำกัด การซิงโครไนซ์ที่หลากหลายสามารถแสดงเป็นคุณสมบัติ homotopical ของพื้นที่ (ความจริงที่ว่าการดำเนินการมีคำสั่งเวลาดูเหมือนจะเรียกว่าทฤษฎี homotopy กำกับโดยตรงมากกว่าทฤษฎี homotopy ธรรมดา)

ดูบทความของ Eric Goubault มุมมองทางเรขาคณิตในทฤษฎีการเกิดพร้อมกันสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม นอกจากนี้ดูที่ Maurice Herlihy และกระดาษที่ได้รับรางวัล Goedel ของ Nir Shavit, โครงสร้าง Topological ของการคำนวณแบบอะซิงโครนัสซึ่งตัดสินปัญหาแบบเปิดที่ยาวนานในทฤษฎีของการเขียนโปรแกรมแบบกระจาย
แนวคิดที่สามมาจากทฤษฎีประเภท homotopy ผ่านการค้นพบว่าทฤษฎีประเภทมาร์ติน - โลฟเป็น (น่าจะเป็นหรือไม่) การนำเสนอทางวากยสัมพันธ์ (ในแง่ของเครื่องกำเนิดและความสัมพันธ์) ของทฤษฎีของโอเมก้า - groupoids - เช่นแบบจำลองนามธรรม ทฤษฎี homotopy แนะนำที่ดีที่สุดในความคิดเหล่านี้เป็นหนังสือประเภททฤษฎีฮอมอโท

โปรดทราบว่าความคิดทั้งหมดเหล่านี้แตกต่างกันมาก แต่ก็ยังคงใช้สัญชาตญาณทางเรขาคณิต! และยังมีคนอื่น ๆ ซึ่งผมไม่ทราบเหมือนการใช้งานที่เกิดขึ้นในทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตและวิธีการที่ทฤษฎีของวงจรที่สามารถอธิบายได้ในแง่ของข้อมูล (CO) ทฤษฎีที่คล้ายคลึงกันของกราฟ

โดยทั่วไปเมื่อคุณกำลังทำ CS เรขาคณิตเป็นเครื่องมือ - คุณใช้มันเพื่อทำให้สัญชาติญาณของคุณเป็นระเบียบเพื่อให้คุณสามารถใช้ประโยชน์จากงานที่มีขนาดมหึมา แต่มันเป็นเครื่องขยายเสียงความคิดไม่ใช่สิ่งทดแทนสำหรับการมีความคิด!

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

หากวัตถุของคุณเป็นเครื่องจักรทัวริงมีความเป็นไปได้ที่สมเหตุสมผลหลายประการสำหรับ morphisms ตัวอย่างเช่น:

1) พิจารณาเครื่องจักรทัวริงเหมือนออโตมาตะและพิจารณามอร์ฟิซึ่มส์ตามปกติของออโตมาตะ (แผนที่ระหว่างตัวอักษรและสถานะที่สอดคล้องกับอีกอัน) ซึ่งยังคงรักษาความเคลื่อนไหวของหัวเทปหรือตรงกันข้าม พวกเขา (เช่นเมื่อใดก็ตามที่แหล่ง TM หายไปเป้าหมาย TM ไปทางขวาและในทางกลับกัน)

2a) พิจารณาการจำลองหรือbisimulations

$T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3) พิจารณากราฟการเปลี่ยนแปลงของเครื่องทัวริง (จุดสุดยอดแต่ละอันเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์ของสถานะของเครื่องและเทปโดยมีขอบชี้นำที่สอดคล้องกับช่วงการเปลี่ยนภาพที่ TM จะทำ) และพิจารณา morphisms ของกราฟ สำหรับ TM นี่เป็นความสัมพันธ์ที่หยาบมากเนื่องจากมันไม่สนใจธรรมชาติของการคำนวณ (เช่นจะละเว้นเช่นเนื้อหาของเทปนั้นคืออะไร)

ฉันคิดว่าคำถามที่แท้จริงคือ: คุณต้องการรู้เกี่ยวกับ TM หรือจะทำอย่างไรกับพวกเขา ในกรณีที่ไม่มีสิ่งนี้มันเป็นการยากที่จะให้ข้อโต้แย้งสำหรับคำจำกัดความใดคำหนึ่งเหนือคำบรรยายเหนือกว่าธรรมชาติ (ในความหมายปกติของคำไม่ใช่ความหมายเชิงหมวดหมู่)

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ฉันใหม่มากสำหรับคณิตศาสตร์ประเภทนี้ ฉันได้อ่านในอดีตเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อน แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันหยิบมันขึ้นมาอีกครั้งหลังจากที่ฉันเห็นใครบางคนบนอินเทอร์เน็ตที่อ้างว่าเทคนิคโฮโมโลจี้จะเข้าสู่ทฤษฎีความซับซ้อนในศตวรรษหน้าและทำให้ฉันสนใจ หลังจากอ่านเสร็จฉันก็รู้ว่านอกเหนือจากความเข้าใจผิวเผินเกี่ยวกับคำจำกัดความของเครื่องจักรทัวริงฉันไม่รู้ว่ามันเข้ารหัสอะไรกันแน่ นั่นเป็นวิธีที่ฉันมาถึงคำถาม ดังนั้นคุณสามารถพูดได้ว่าในระดับพื้นฐานฉันพยายามจินตนาการว่าโฮโมโลจี้สามารถเข้าสู่ทฤษฎีความซับซ้อนได้อย่างไร

— Saal Hardali

ฉันรู้ว่านี่เป็นสิ่งที่เร็วมากสำหรับคนอย่างฉันที่เข้าใจน้อยมากเกี่ยวกับหัวข้อนี้ แต่ฉันก็ยังอยากจะเล่นกับแนวคิดนี้ในหัวของฉันในการ คำตอบของคุณเป็นสิ่งที่ดีและแน่นอนฉันต้องการอ่านเพิ่มเติมในแง่มุมของมัน ขอขอบคุณ.

— Saal Hardali

@ SaalHardali: ฉันอยากรู้ว่าที่คุณอ่านโฮโมโลจี้จะเข้าสู่ทฤษฎีความซับซ้อน? ฉันสามารถคิดได้สองวิธี แต่ฉันยังไม่เห็นเส้นทางผ่านทฤษฎีประเภท homotopy (อาจเป็นเพราะฉันยังไม่เข้าใจ HoTT ดีพอ) สองวิธีที่ฉันเห็น: (1) ในการคำนวณแบบกระจายสิ่งนี้เกิดขึ้นแล้วกล่าวคือ Herlihy และ Rajsbaum และ (2) ผ่านทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิต

— Joshua Grochow

ตามทฤษฎี homotopy ฉันได้อ้างอิงถึงแนวคิดทั่วไปของการเรียนหมวดหมู่ที่มีความอ่อนแอเทียบเท่าและไม่มาก HoTT ฉันอ่านมันในแบบสำรวจความคิดเห็นเกี่ยวกับ P =? NP มันไม่ยากเลยที่ฉันคิดว่ามันถูกเชื่อมโยงจากหนึ่งในคำถามในเว็บไซต์นี้ ฉันเดาว่าเดาแรกของฉัน (ในฐานะคนนอก) ก็คือบางทีอาจมีความอ่อนแอที่น่าสนใจในบางประเภทของแบบจำลองการคำนวณที่สอดคล้องกับความซับซ้อนของคลาสอย่างใดและจากนั้นก็เรียน functors คงที่ ทฤษฎี homotopy "นี่อาจเป็นเรื่องที่ไร้เดียงสาและน่าเสียดายเป็นอย่างยิ่ง

— Saal Hardali

ในกรณีที่ความสนใจของคุณคือทฤษฎีความซับซ้อนมากกว่าทฤษฎีความสามารถในการคำนวณคำตอบนี้อาจเป็นประโยชน์กับคุณ: cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sasho Nikolov

คุณอาจสนใจในทัวริงหมวดหมู่โดย Robin Cockett และ Pieter Hofstra จากมุมมองของทฤษฎีประเภทคำถามที่ว่า "สิ่งที่เป็นหมวดหมู่ของเครื่องทัวริง" เป็นที่น่าสนใจน้อยกว่า "สิ่งที่เป็นโครงสร้างเด็ดขาดซึ่งรองรับการคำนวณ" ดังนั้น Robin และ Pieter ระบุประเภททั่วไปที่เหมาะสมสำหรับการพัฒนาทฤษฎีการคำนวณ จากนั้นมีความเป็นไปได้หลายอย่างสำหรับการกำหนดหมวดหมู่ดังกล่าวโดยเริ่มจากเครื่องทัวริง เหตุใดจึงมีหนึ่งหมวดหมู่เมื่อคุณสามารถมีหมวดหมู่ทั้งหมดได้

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา