กราฟย้อนกลับปัญหา Spectra?

โดยปกติแล้วคนหนึ่งจะสร้างกราฟแล้วถามคำถามเกี่ยวกับเมทริกซ์ adjacency (หรือญาติสนิทเช่นLaplacian ) eigenvalue การสลายตัว (เรียกอีกอย่างว่าสเปกตรัมของกราฟ )

แต่แล้วปัญหาย้อนกลับล่ะ เมื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะสามารถหากราฟที่มีสเปกตรัมนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่$n$

ฉันสงสัยว่าโดยทั่วไปสิ่งนี้ยากที่จะทำ (และอาจเทียบเท่ากับ GI) แต่ถ้าคุณผ่อนคลายเงื่อนไขเล็กน้อย ถ้าคุณทำเงื่อนไขว่าไม่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายหลาก แล้วการอนุญาตให้ใช้กราฟที่มีสเปคตรัม "ปิด" ด้วยการวัดระยะทางบ้าง

ยินดีต้อนรับการอ้างอิงหรือความคิดใด ๆ

แก้ไข :

ดังที่ Suresh ชี้ให้เห็นถ้าคุณอนุญาตให้กราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่ระบุทิศทางพร้อมลูปตัวเองปัญหานี้จะกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ฉันหวังว่าจะได้รับคำตอบเกี่ยวกับชุดกราฟที่เรียบง่ายที่ไม่ได้บอกทิศทางและไม่มีน้ำหนัก แต่ฉันก็จะมีความสุขกับกราฟกำกับที่ไม่มีน้ำหนักแบบง่ายเช่นกัน

Cvetcovic และทั้งหมดในส่วนที่ 3.3 ของ "ผลลัพธ์ล่าสุดในทฤษฎีกราฟสเป็คตรา" ไปมากกว่าอัลกอริทึมสำหรับการสร้างกราฟที่ให้สเปกตรัมในบางกรณีพิเศษ

แม้แต่การถามว่ากราฟที่มีคลื่นความถี่ที่กำหนดนั้นเป็นคำถามที่ยาก นี่เป็นพยานจากปัญหาเปิดของการพิจารณาว่ามีกราฟเส้นรอบวง 5 เส้นผ่านศูนย์กลาง 2 และมีคำสั่ง 3250 ที่รู้จักสเปกตรัม (ถ้ามี)

อุปสรรคอีกข้อหนึ่งในการกำหนดคำถามของคุณคือ isospectral (eigenvalues ​​เดียวกัน) แต่ไม่ใช่กราฟ isomorphic ให้รายการค่าลักษณะเฉพาะในกรณีเช่นนั้นกราฟที่คุณต้องการ? บางทีคุณอาจต้องการให้อัลกอริทึมส่งคืนองค์ประกอบแบบสุ่มหนึ่งชุดของกราฟที่ไม่ใช่แบบมอร์ฟิคดังกล่าว