การตัดสินใจว่าการเปลี่ยนแปลงหนึ่งรายการจะลดความถาวรของเมทริกซ์ในลำดับชั้นพหุนามหรือไม่?

พิจารณาปัญหาดังต่อไปนี้ได้รับเมทริกซ์ $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , ดัชนี $i,j\in\{1,\dots,n\}$ และจำนวนเต็ม แทนที่โดยและเรียกใหม่เมทริกซ์Mคือ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

ปัญหานี้อยู่ในลำดับชั้นพหุนามหรือไม่?

permanent

— T ....
แหล่งที่มา

มันสามารถแก้ไขได้โดยการโทรสองครั้งไปที่ oracle #P ... หากอยู่ใน PH ก็หมายความว่า PP นั้นยังอยู่ใน PH ... อย่างไรก็ตามถ้า PP อยู่ใน PH PH ก็จะทรุดตัวลง ดังนั้นฉันคิดว่าไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมีค่า PH

— Tayfun จ่าย

@ayfunPay ฉันไม่คิดว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้อง ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยการโทรไปที่ #P 2 ครั้ง แต่ไม่สามารถตัดออกได้อย่างง่ายดายว่ามีอัลกอริทึมที่ง่ายกว่าซึ่งอาจแสดงว่าเป็น PH คุณต้องแสดงว่า #P นั้นยากสำหรับการเช่นโดยลดค่าถาวรลง

— Jan Johannsen

หากคุณเสียบนิยามของความถาวรและทำให้ความไม่เท่าเทียมเกิดขึ้นอย่างง่ายปัญหาของคุณก็จะเดือดร้อนกับคำถามว่าการถาวรของเมทริกซ์ที่กำหนด (n-1) --by- (n-1) เป็นบวกอย่างเคร่งครัดหรือไม่

— Gamow

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ ผลตอบแทนจริง

— holf

@ ฮอลล์: ฉันคิดว่าคุณควรโพสต์สิ่งนี้เป็นคำตอบ มันค่อนข้างตอบคำถามอย่างชัดเจนแล้วคำถามจะไม่ปรากฏเป็น "ยังไม่ได้ตอบ" อีกต่อไป

— Joshua Grochow

ปัญหาของคุณคือเทียบเท่ากับการทดสอบการรับไม่ว่าจะเป็น0 $M$ $PER(M) > 0$

หลักฐาน : สมมติว่าคุณจะได้รับและคุณต้องการที่จะตัดสินใจว่า0 เราสร้างดังต่อไปนี้: มันคือ ง่ายที่จะเห็นว่า(M) ตอนนี้กำหนดจะเป็นที่เราแทนที่การเข้ามาของโดย-1โดย multilinearity มันตามที่'}) ดังนั้นถ้าหาก $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

ตอนนี้คิดว่าคุณจะได้รับ ,และและกำหนดเป็นในคำถามของคุณ, ที่อยู่, โดยการเปลี่ยนเพื่อ เรามี $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

ที่เป็นเมทริกซ์ที่ได้รับจากโดยการถอดสายและคอลัมน์J $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี แต่มันก็คุ้มค่าที่จะระบุคำตอบให้กับคำถามของ OP อย่างชัดเจน

— Stella Biderman