กราฟ“ ขอบเขตรอบประเภท” มีความคงที่อย่างต่อเนื่องหรือไม่?

ให้และแสดงว่าโดยชุดของกราฟทั้งหมดที่สามารถฝังตัวอยู่บนพื้นผิวของพืชและสัตว์ที่ดังกล่าวว่าทุกจุดที่ตั้งอยู่บนใบหน้าด้านนอก ตัวอย่างเช่นเป็นชุดของกราฟด้านนอก ความว่องไวของกราฟในสามารถ จำกัด ขอบเขตบนของฟังก์ชันหรือไม่? $k\in\mathbb{N}$ $G_k$ $k$ $G_0$ $G_k$ $k$

ทิศทางอื่น ๆ อย่างเห็นได้ชัดไม่ได้ถือตั้งแต่ treewidth คงไม่ได้บ่งบอกถึงประเภทคงที่: Let เป็นสหภาพของสำเนาเคลื่อนของ 3treewidth ของเป็นค่าคงที่พืชและสัตว์ แต่เป็นn $H_n$ $n$ $K_{3,3}$ $H_n$ $n$

— Radu Curticapean
แหล่งที่มา

ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีโหนด

มีความกว้างของต้นไม้

n

$n$

)

มีปัญหาหลายอย่างซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นยากในกราฟเชิงระนาบ แต่ใน P สำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ล้อมรอบเช่นชุดอิสระสูงสุด ฉันไม่ได้เห็นตัวอย่างใด ๆ ในทางกลับกัน

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Yaroslav Bulatov

ฉันขอโทษ ... ฉันโพสต์คำถามผิดจริงบังคับให้ฉันแก้ไขคำถามข้างต้น

— Radu Curticapean

ใช่.

เพิ่มจุดสุดยอดที่อยู่ตรงกลางของใบหน้าด้านนอกเชื่อมต่อกับทุกจุดยอดในใบหน้าด้านนอก; สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนสกุลและไม่ลดความน่าเชื่อถือ ตอนนี้กราฟมีแผนภูมิการค้นหาความกว้างแรกที่ตื้นมากที่ถูกฝังที่จุดสุดยอดใหม่ (ทุกอย่างอยู่ติดกับมัน)

สร้างแผนภูมิที่ทอดของกราฟคู่ที่มีขอบคู่แยกจากขอบของต้นไม้ค้นหาที่กว้างแรก จากนั้นมีชุดของขอบ O (สกุล) ที่ไม่ได้เป็นของต้นไม้ใดต้นหนึ่ง แต่ละขอบเหล่านี้ก่อให้เกิดวงจรสั้น (สามเหลี่ยม) พร้อมกับเส้นทางในต้นไม้การค้นหาที่กว้างแรกและการตัดพื้นผิวตามวัฏจักรเหล่านี้จะสร้างพื้นผิวระนาบ (ดูกระดาษของฉัน "เครื่องกำเนิดไฟฟ้าแบบไดนามิกของกราฟ นั่นคือถ้า G 'เป็นกราฟย่อยของกราฟอินพุตที่เกิดจากจุดยอดที่ไม่ใช่จุดสิ้นสุดของขอบตัด O (จีนัส) G ก็คือภาพถ่ายและจุดยอดสามารถปกคลุมด้วยใบหน้า O (สกุล) ของมัน การฝังภาพถ่าย (ใบหน้าที่ตัดรอบตัดใบหน้าด้านนอกเดิมเป็น)

แต่ในกราฟระนาบที่จุดยอดทั้งหมดเป็นของใบหน้า k เราสามารถลบขอบ O (k) อื่น (ต้นไม้ที่ทอดหน้า) เพื่อให้ได้กราฟด้านนอก ดังนั้นความกังวลของ G 'คือ O (สกุล) หากรูปแบบการสลายตัวแบบต้นไม้ของ G 'ที่มีความกว้างนี้และเพิ่มจุดยอดที่เป็นจุดสิ้นสุดของขอบรอบการตัดแต่ละถุงผลที่ได้คือการสลายตัวแบบต้นไม้ของกราฟอินพุตดั้งเดิมด้วย treewidth O (สกุล)

ดูเหมือนว่าสิ่งนี้จะต้องอยู่ในวรรณคดีอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ฉันไม่รู้ว่าที่ไหนและการค้นหาอย่างรวดเร็วบางอย่างไม่ประสบความสำเร็จในการค้นหาคำสั่งที่ชัดเจนของผลลัพธ์ที่แม่นยำนี้ อย่างไรก็ตามคำแถลงทั่วไปอยู่ในกระดาษที่แตกต่างกันของฉัน: ใน "เส้นผ่านศูนย์กลางและความน่าเชื่อถือในตระกูลกราฟที่ปิดเล็กน้อย" ฉันพิสูจน์ได้จากสิ่งอื่น ๆ ที่ล้อมรอบกราฟประเภทของเส้นผ่านศูนย์กลางที่ จำกัด ไว้มีความ จำกัด treewidth ในกรณีนี้ (โดยการเพิ่มจุดสุดยอดพิเศษภายในใบหน้าด้านนอก) เส้นผ่านศูนย์กลางสามารถถูกนำมาใช้ได้สูงสุดสองเส้น

— David Eppstein
แหล่งที่มา