ทฤษฎีบทของแรมซีย์สำหรับชุดสะสม

ในขณะที่สำรวจเทคนิคต่าง ๆ ของการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับอัลกอริทึมแบบกระจายมันเกิดขึ้นกับฉันว่าตัวแปรในทฤษฎีบทของแรมซีย์ต่อไปนี้อาจมีแอปพลิเคชั่น - ถ้ามันเกิดขึ้นจริง

พารามิเตอร์: $k$ , $K$ , $n$ได้รับจากนั้นเลือก$N$ให้มีขนาดใหญ่พอ คำศัพท์: $m$ -subset เป็นส่วนหนึ่งของขนาดเมตร$m$

• Let = { 1 , 2 , . . , N }$A = \{1,2,...,N\}$
• Let $B$ประกอบด้วยทั้งหมด$k$ -subsets ของ$A$
• Let $C$ประกอบด้วยทั้งหมด$K$ -subsets ของB$B$
• กำหนดสี$f\colon C \to \{0,1\}$ของC$C$

ตอนนี้ทฤษฎีบทของ Ramsey (เวอร์ชั่นไฮเปอร์กราฟกราฟ) บอกว่าไม่ว่าเราจะเลือก$f$อย่างไรมีmonochromatic $n$ -subset $B'$ของ$B$ : $K$ -subsets ทั้งหมดของ$B'$มีสีเดียวกัน

ฉันอยากจะไปอีกขั้นหนึ่งแล้วค้นหา monochromatic $n$ -subset $A'$ของ$A$ : ถ้า$B' \subset B$ประกอบด้วย$k$ -subsets ทั้งหมดของ$A'$ดังนั้น$K$ -subsets ทั้งหมดของ$B'$จะมีสีเดียวกัน

สิ่งนี้จริงหรือเท็จ? มันมีชื่อหรือไม่? คุณรู้จักการอ้างอิงใด ๆ บ้างไหม?

หากเป็นเท็จด้วยเหตุผลเล็ก ๆ น้อย ๆ มีตัวแปรที่อ่อนแอกว่าซึ่งคล้ายกับการอ้างสิทธิ์นี้หรือไม่?

สังเกตว่าคำถามนี้ไม่ใช่เรื่องไร้สาระเฉพาะเมื่อ k, K ทั้งสองมีขนาดใหญ่กว่า 1; สำหรับกรณี k = 1 หรือ K = 1 มันเป็นเพียงทฤษฎีบทแรมซีย์ปกติซึ่งเป็นจริงสำหรับทุก n ยิ่งไปกว่านั้นเราต้องจัดการกับกรณีที่ > K มิฉะนั้นทฤษฎีบทจะเป็นจริงเนื่องจากมีอย่างน้อยหนึ่ง select - ชุดย่อยของ B 'สร้างโดย n-subset A' ของ A.(${n \choose k}$${n \choose k}$

ครั้งแรกที่เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเป็นเท็จสำหรับ k ทั้งหมด> 1 K> 1 และตอบสนองใด ๆ n > K>k}) (n-${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

เพื่อสร้างตัวอย่างตัวอย่างสำหรับ N ขนาดใหญ่และ A = [N] เราต้องสร้างฟังก์ชั่นการระบายสี f เช่นนั้นสำหรับเซตย่อย n ทั้งหมดของ A หาก B ประกอบด้วย K-subset ทั้งหมดของ A ' K-subset บางส่วนของ B 'มีสีที่ต่างกัน ที่นี่เรามีการสังเกตต่อไปนี้:

การสังเกต 1.ภายใต้เงื่อนไขที่ k, K> 1 และ > K> , K-subset ใด ๆ ของ B เป็นเซตย่อยที่มากที่สุดหนึ่ง B 'ที่สร้างขึ้นโดย n-subset A 'ของ A (n-${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

การสังเกตสามารถดูได้ง่าย ๆ โดยการแทนด้วยกราฟไฮเปอร์ ให้ A เป็นโหนดของกราฟ G, n-subset A 'ของ A คือชุดโหนดของ n-subgraph ที่สมบูรณ์ใน G B' คือเซตของ k-hyperedges ใน subgraph ทั้งหมด (2-hyperedge คือ a ขอบปกติ) และ K-subsets ของ B 'คือชุดค่าผสมทุกชุด (มีโดยรวมโดยที่ | B '| = ) ของ K k-hyperedges . สถานะการสังเกต: K-tuple ของไฮเปอร์ดจ์ใน G เป็นหนึ่งใน n-subgraph ที่สมบูรณ์มากที่สุดซึ่งเห็นได้ชัดสำหรับ > K>เนื่องจากทั้งสองสมบูรณ์ n-subgraphs ตัดกันที่โหนด n-1 ส่วนใหญ่โดยที่ไฮเปอร์ด์มากที่สุด ($({|B'| \atop K})$(${n \choose k}$ (n-${n \choose k}$ (n-$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

จากนั้นเราสามารถกำหนดสีที่แตกต่างภายใน K-subsets C 'ของ B เฉพาะที่สร้างขึ้นโดย n-subset A' เนื่องจากองค์ประกอบใด ๆ ใน C 'จะไม่เกิดขึ้นเนื่องจาก K-subset อื่นของ B' 'ถูกสร้างขึ้นโดย n-subset A '' สำหรับ K-subset ของ B ที่ไม่ได้สร้างโดย n-subset ของ A ใด ๆ เราจะกำหนดสีแบบสุ่ม ตอนนี้เรามีฟังก์ชั่นการระบายสี f โดยคุณสมบัติที่ไม่มี B 'สร้างโดย n-subset ของ A คือ monochromatic นั่นคือ K-subsets บางส่วนของ B' มีสีที่แตกต่างกัน

ต่อไปเราจะแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นเท็จสำหรับทุก k> 1, K> 1 และ n ใด ๆ ที่พอใจ > K. ที่นี่ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ n อาจเลือกขนาดใหญ่มาก K>ไม่เป็นความจริง แต่ด้วยการสังเกตง่ายๆ (n-${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

การสังเกตุ 2หากบาง B 'สร้างโดย n-subset A' ของ A คือ monochromatic ดังนั้น B ทั้งหมด 'ที่สร้างโดย n'-subset A' 'ของ A' สำหรับ n '<n ก็เป็น monochromatic เช่นกัน

ดังนั้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าทฤษฎีบทที่ใหญ่ n ใช้การสังเกตครั้งที่สองและสรุปความขัดแย้งในกรณีแรกโดยการตั้งค่าของ n พอใจ > K> ; n 'จะต้องมีอยู่จริงเนื่องจาก > K และ K> , n' ต้องอยู่ระหว่าง n และ k + 1( n ′ -$({n' \atop k})$($({n'-1 \atop k})$($({n \atop k})$$({k \atop k})$