ทำไมต้อง Reflexive Graphs สำหรับ Parametricity

มองไปที่รูปแบบของความแตกต่างพาราผมอยากรู้ว่าทำไม กราฟสะท้อนประเภทการใช้งานอย่างไร

โดยเฉพาะอย่างยิ่งทำไมพวกเขาจึงไม่รวมองค์ประกอบเชิงสัมพันธ์? เมื่อดูที่แบบจำลองพวกเขาทั้งหมดดูเหมือนจะสนับสนุนความคิดตามธรรมชาติขององค์ประกอบสัมพันธ์:

เอกสารล่าสุดที่ใช้กราฟสะท้อนกลับดูเหมือนจะใช้สิ่งนี้เพื่อให้ได้รับและกระดาษเก่าเท่านั้นที่ฉันสามารถพบที่กล่าวถึงมันคือ "ตัวแปรเชิงสัมพันธ์และตัวแปรท้องถิ่น" โดย O'Hearn และ Tennent ผู้กล่าวว่า:

เหตุผลหนึ่งที่ไม่ต้องการความสามารถในการเรียงตัวคือว่าเป็นที่ทราบกันดีว่าการแต่งเพลงไม่ได้ถูกรักษาไว้โดยความสัมพันธ์เชิงตรรกะในประเภทที่สูงกว่า

และฉันก็ไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไรดังนั้นคำถามแรกของฉันคือสิ่งที่มีความหมายโดยนี้และหวังว่าการอ้างอิงที่ดีกว่าสำหรับคำถามนี้

สิ่งที่ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่ยกตัวอย่างเช่นเลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องรักษาองค์ประกอบความสัมพันธ์บนจมูก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราไม่สามารถแสดงS')) ซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังไม่ขยายไปถึง functor ในหมวดหมู่ของความสัมพันธ์$(R;R') \to (S;S') \equiv ((R \to S);(R' \to S'))$

อย่างไรก็ตามในขณะที่ฉันไม่สามารถแสดงความเท่าเทียมกันระหว่างความสัมพันธ์ข้างต้นได้อย่างแน่นอนฉันสามารถพิสูจน์การรวม ใช่ไหม$((R \to S);(R' \to S')) \subset ((R;R') \to (S;S'))$

รับจากนั้นก็มีประเภทที่เหมาะสมกับดังนั้นให้ผมสามารถแสดง(z) ไม่ได้หมายถึงการที่ชี้แจงไม่ให้ฉันหละหลวม functorซึ่งดูเหมือนจะเป็นคุณสมบัติที่ดีที่จะโยนออกไป? ดังนั้นคำถามที่สองของฉันคือมีตัวอย่างที่การรวมในทิศทางนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน?g f ( R → S ) g ( R ′ → S ′ ) h x R y R ′ z f ( x ) S g ( y ) S ′ h ( z $f((R \to S);(R' \to S')) h$$g$$f(R\to S)g(R'\to S')h$$xRyR'z$$f(x) S g(y) S' h(z)$

ในช่วงหลายเดือนที่ฉันถามคำถามนี้ฉันคิดว่าฉันพบคำตอบที่สมเหตุสมผล

บ่อยครั้งที่ประเภทของความสัมพันธ์ที่พิจารณาไม่ได้เขียน ตัวอย่างเช่นถ้าความคิดของคุณของความสัมพันธ์ระหว่างω CPOs เป็นω -chain เซตสมบูรณ์ของ| D | × | E | ดังนั้นความสัมพันธ์R : ω + 1 → Nระหว่างธรรมชาติที่สั่งบวกกับอินฟินิตี้ω + 1และ CPO แบนของธรรมชาติN ที่ได้รับจากR ( n , n )ถือและไม่มีอะไรอื่นแล้ว$R : D \to E$$\omega$$\omega$$|D|\times |E|$$R : \omega + 1 \to \mathbb{N}$$\omega+1$$\mathbb{N}$$R(n,n)$ยอมรับได้เช่นเดียวกับการสนทนา แต่คอมโพสิต R ; R T : ω + 1 → ω + 1ไม่ได้เป็นห่วงโซ่สมบูรณ์ตั้งแต่ n R ; R T nสำหรับทุกธรรมชาติ แต่เราไม่ได้มี ω R ; R T ω$R$$R;R^T : \omega+1 \to \omega + 1$$n R;R^T n$$\omega R; R^T \omega$