เล็มม่า Normalization ของ Noether สำหรับฟิลด์ จำกัด

คำถามของฉันเป็นเรื่องเกี่ยวกับทฤษฎีบท 4.1 และ 4.2 ใน"เรขาคณิตซับซ้อนทฤษฎี V"

ทฤษฎีบทแรกระบุว่ามีอัลกอริทึมEXPSPACEสำหรับการสร้าง hsop สำหรับ$\Delta[\text{det},m]$ (ดูคำจำกัดความในกระดาษ) บน $\mathbb{C}$ (อันที่จริงแล้วบนสนามพีชคณิตแบบปิดโดยพลการของลักษณะเป็นศูนย์)

ประการที่สองให้อัลกอริธึมโพลีเวลาน่าจะเป็นโพลีเวลาสำหรับปัญหาเดียวกัน

ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายไปสู่การปิดพีชคณิตของสนาม จำกัด ได้หรือไม่?

อย่างที่ฉันเข้าใจมันเป็นไปได้เพราะปัญหาของ Nullstellensatz ของ Hilbert เป็นของPSPACEในกรณีนี้เช่นกัน ทฤษฎีบท Heintz และ Schnorr ยังคงมีลักษณะเฉพาะตามอำเภอใจ ...

ฉันเชื่อว่าคำตอบคือใช่ ส่วนเดียวที่ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบอย่างรอบคอบคือ:

• อาร์กิวเมนต์ตรงกลางของทฤษฎีบท 4.2 โดยใช้ทอพอโลยีที่ซับซ้อนและความจริงที่ว่าการปิดของ Zariski = การปิดที่ซับซ้อนสำหรับชุดที่สร้างขึ้นได้ของ Zariski $\mathbb{C}$. การโต้แย้งในส่วนนี้ควรเปลี่ยนได้โดยใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐานของการใช้ซีรี่ส์ Laurent แต่อย่างที่ฉันบอกว่าฉันไม่ได้ตรวจสอบอย่างระมัดระวัง

ในทฤษฎีบท 4.1 และ 4.2 ดูเหมือนว่าสถานที่อื่นที่เป็นศูนย์เท่านั้นที่ใช้จริงๆคือ $\mathsf{EXPH}$ส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท 4.1 (สมมติว่า GRH) สิ่งนี้ใช้ผลลัพธ์ของ Koiran ซึ่งสมมติว่า GRH นั้น Nullstellensatz ของ Hilbert อยู่ใน$\mathsf{PH}$. ผลลัพธ์ของ Koiran นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเป็นศูนย์ (เนื่องจากมันพิจารณาการแก้ปัญหาของระบบสมการโมดูโลหลายครั้ง$p$) สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องได้รับ$\mathsf{EXPSPACE}$ ส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท 4.1 อย่างไรก็ตาม $\mathsf{EXPH}$ ส่วนหนึ่ง (สมมติว่า GRH)