ทำไมต้องเป็นธรรมชาติแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม?

ฉันสนใจว่าเพราะเหตุใดจำนวนธรรมชาติจึงเป็นที่รักของผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีการเขียนโปรแกรมภาษาและทฤษฎีการพิมพ์ (เช่น J. Mitchell, รากฐานสำหรับภาษาโปรแกรมและ B. Pierce, ประเภทและภาษาโปรแกรม) คำอธิบายของแลมบ์ดาแคลคูลัสที่พิมพ์ได้อย่างง่ายและโดยเฉพาะอย่างยิ่งภาษาการเขียนโปรแกรม PCF มักขึ้นอยู่กับแน็ตและบูล สำหรับคนที่ใช้และสอน PL อุตสาหกรรมที่ใช้งานทั่วไปมันเป็นเรื่องที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นในการรักษาจำนวนเต็มแทนที่จะเป็นธรรมชาติ คุณช่วยพูดถึงเหตุผลที่ดีได้ไหมว่าทำไมนักทฤษฎี PL ชอบของนัท นอกจากนั้นมันมีความซับซ้อนน้อยกว่าเล็กน้อย มีเหตุผลพื้นฐานใด ๆ หรือเป็นเพียงประเพณีที่ให้เกียรติ?

UPDสำหรับความคิดเห็นทั้งหมดที่เกี่ยวกับ "พื้นฐาน" ของธรรมชาติ: ฉันค่อนข้างรู้เกี่ยวกับสิ่งดีๆเหล่านั้น แต่ฉันอยากจะดูตัวอย่างเมื่อจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมีคุณสมบัติเหล่านั้นในทฤษฎีประเภทของทฤษฎีของ PL เช่นการเหนี่ยวนำที่กล่าวถึงอย่างกว้างขวาง เมื่อเรามีลอจิกประเภทใด (ซึ่งก็คือการพิมพ์ LC) เช่นเดียวกับตรรกะลำดับแรกพื้นฐานเราใช้การเหนี่ยวนำจริงๆ - แต่การเหนี่ยวนำบนต้นไม้ที่ได้มา (ซึ่งเรามีในแลมบ์ดาด้วย)

โดยทั่วไปแล้วคำถามของฉันมาจากผู้คนในอุตสาหกรรมที่ต้องการได้รับทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมภาษา พวกเขาเคยมีจำนวนเต็มในโปรแกรมของพวกเขาและไม่มีข้อโต้แย้งที่เป็นรูปธรรมและการใช้งานกับทฤษฎีที่กำลังศึกษา (ทฤษฎีประเภทในกรณีของเรา) ทำไมการเรียนภาษาที่มีเพียงนัทพวกเขารู้สึกผิดหวังมาก

คำตอบสั้น ๆ : ธรรมชาติเป็นกฎข้อ จำกัด แรก ดังนั้นพวกเขาจึงมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีเซตซึ่งเป็นจริง (เช่นความจริงของอินฟินิตี้คือการยืนยันที่พวกเขามีอยู่) และตรรกะและนักทฤษฎี PL มักจะแบ่งปันความลุ่มหลงพื้นฐานกับนักตรรกวิทยา เราต้องการเข้าถึงหลักการของการเหนี่ยวนำเพื่อพิสูจน์ความถูกต้องการสิ้นสุดและคุณสมบัติที่คล้ายกันทั้งหมดและธรรมชาติเป็นทางเลือกตามธรรมชาติของการจัดลำดับที่ดี

ฉันไม่ต้องการบอกเป็นนัยเลยว่าเลขจำนวนเต็มไบนารีที่มีความกว้าง จำกัด เป็นวัตถุที่น่าสนใจน้อยกว่า มันเป็นการนำเสนอของ p-adics และอนุญาตให้เราใช้วิธีอนุกรมกำลังในทฤษฎีจำนวนและ combinatorics ซึ่งหมายความว่าความสำคัญของพวกเขาจะปรากฏให้เห็นในอัลกอริทึมมากกว่า PL เนื่องจากนี่คือเมื่อเราเริ่มดูแลเกี่ยวกับความซับซ้อนมากกว่าการเลิกจ้าง

ธรรมชาติเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญกว่าจำนวนเต็ม

การเหนี่ยวนำเกิดขึ้นเหนือธรรมชาติและจำนวนเต็มสามารถได้มาจากธรรมชาติด้วยการเพิ่มง่ายของผู้ประกอบการผกผัน unary

ฉันอยากถามคำถามย้อนกลับ: ทำไมนักเขียนโปรแกรมภาษาต้น (และเครื่องลงทะเบียน) จึงออกแบบตัวเลขจำนวนเต็มให้เป็นประเภทข้อมูลพื้นฐานเมื่อพวกเขาเป็นรองและได้มาจากธรรมชาติง่าย ๆ ?

ฉันสงสัยว่ามันเป็นเพราะมีการเข้ารหัสเลขฐานสองแบบบางอย่างที่สามารถจัดการจำนวนเต็มได้อย่างสวยงาม ;-)

คิดว่าคุณต้องการละเว้นช่วงลบของจำนวนเต็มแบบเป็นโปรแกรมและพิจารณาแรงกระตุ้นที่จะมีประเภทจำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงชื่อเพื่อกู้คืนบิตที่หายไป

มี bijection คำนวณระหว่างอยู่และ{Z} ดังนั้นมันเพียงพอที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณและสิ่งที่คล้ายกันโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติตลอดเวลาที่รู้ว่าผลลัพธ์ของคุณสรุปเป็นจำนวนเต็ม (และจำนวนตรรกยะ$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

เหตุผลเฉพาะในธรรมชาติจะสะดวกเพราะคุณมีการเหนี่ยวนำและเป็นชุดที่ดีก่อตั้งขึ้นด้วยธรรมชาติ\อันหลังมีความสำคัญอย่างยิ่งเนื่องจากสามารถนำไปใช้ในการพิสูจน์การเลิกจ้าง ในขณะที่คุณสามารถกำหนดลำดับที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในมันสะดวกน้อยกว่าเพราะมันไม่ตรงกับคำสั่งปกติ ≤ $\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

อีกเหตุผลหนึ่ง (ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ได้รับแล้ว แต่คำตอบนี้เพิ่มข้อมูลใหม่) ก็คือมันมีโครงสร้างที่เรียบง่ายและไม่มีความฉลาดของธรรมชาติซึ่งมาพร้อมกับหลักการอุปนัยที่ดี [ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว] . สิ่งที่ยังไม่ได้ขยายตัวคือความยากลำบากในการสร้างจำนวนเต็มที่ไม่มีความฉลาด

ยิ่งฉันเขียนโปรแกรมมากเท่าไหร่ฉันก็ต้องมีความมั่นใจสูงยิ่งฉันต้องการธรรมชาติมากขึ้นและฉันก็พบว่าการมีจำนวนเต็มเท่านั้นที่กำหนดไว้ล่วงหน้าสำหรับฉันนั้นเป็นความเจ็บปวดที่แท้จริง

มีเหตุผลที่ดีไหมที่นักทฤษฎี PL ชอบธรรมชาติมากกว่าเป็นจำนวนเต็ม? มีบางอย่าง แต่ในหนังสือข้อความเกี่ยวกับความหมายของภาษาการเขียนโปรแกรมฉันคิดว่าไม่มีเหตุผลทางเทคนิคว่าทำไมพวกเขาต้องการ ฉันไม่สามารถนึกถึงสถานที่อื่นนอกเหนือจากระบบประเภทพึ่งพาซึ่งการเหนี่ยวนำข้อมูลมีความสำคัญในทฤษฎี PL หนังสือตำราอื่น ๆ โดยMike Gordon , David Schmidt , Bob TennentและJohn Reynoldsไม่ได้ทำ (และหนังสือเหล่านั้นอาจเหมาะกว่าสำหรับการสอนคนที่ใส่ใจเกี่ยวกับ PL เพื่ออุตสาหกรรมทั่วไป!)

ดังนั้นที่นั่นคุณมีหลักฐานว่าไม่จำเป็น ในความเป็นจริงฉันขออ้างว่าหนังสือตำราทฤษฎี PL ที่ดีควรเป็นตัวแปรในภาษาการเขียนโปรแกรมแบบดั้งเดิมและเป็นความเข้าใจผิดที่จะแนะนำเป็นอย่างอื่น

ธรรมชาติและคนโง่และการดำเนินการกับพวกเขาสามารถเข้ารหัสได้ในแคลคูลัสแลมบ์ดาบริสุทธิ์ในลักษณะตรงไปตรงมาตามที่เรียกกันว่าเลขคริสตจักร ยังไม่ชัดเจนว่าจะเข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มได้อย่างไรแม้ว่าจะสามารถทำได้อย่างชัดเจน