ความซับซ้อนของการคำนวณองค์ประกอบวงโคจรที่เล็กที่สุดของ Lexicographically

ให้กำเนิดที่แข็งแกร่งสำหรับกลุ่มทำหน้าที่บน bitstrings ของความยาวและองค์ประกอบ , มันยากแค่ไหนที่จะคำนวณองค์ประกอบน้อยที่สุดของ , วงโคจรของใน ? $(G \leq S_n, *)$ $n$ $s \in \{0, 1\}^n$ $G.s$ $s$ $G$

permutations gr.group-theory complexity

— ซามูเอลชเลซิงเจอร์
แหล่งที่มา

เห็นได้ชัดว่าสตริงมอร์ฟิซึ่มส์ในความหมายของ Babai สามารถลดลงได้จากปัญหานี้

x, y

$x, y$ สตริงและกลุ่ม

G

$G$ เราสามารถค้นหาตัวแทนวงโคจรที่น้อยที่สุดของพวกเขาดังกล่าวข้างต้นและเปรียบเทียบพวกเขาโดยตรง แต่มันไม่ชัดเจนว่าถ้า isomorphism สตริงนั้นง่ายแล้วนี่เป็นเรื่องง่ายดังต่อไปนี้ ฉันจะดูว่ากระดาษของ Babai ระบุว่าจะทำอย่างไร

— ซามูเอลชเลซิงเจอร์

กระดาษของ Babai ไม่ได้ตอบคำถามนี้ บนหน้า เขาบอกอย่างชัดเจนว่ากระดาษเหล่านั้นไม่ได้ตอบคำถามทั่วไป นั่นไม่ได้บอกว่าเทคนิคไม่สามารถมีประโยชน์สำหรับการค้นหารูปแบบปกติเพียงแค่การทำเช่นนั้นจะเป็นการบริจาคที่ไม่สำคัญ

— Joshua Grochow

ขอบคุณ @JoshuaGrochow ฉันไม่แน่ใจว่าฉันมีพื้นหลังที่จะใช้เทคนิคเหล่านี้ แต่ฉันจะเห็นสิ่งที่ฉันสามารถทำได้ มันยากพอสมควรแม้ว่าจะเป็น quasipolynomial ซึ่งมันไม่มีประโยชน์สำหรับฉันในแบบที่ฉันต้องการใช้

— ซามูเอลชเลซิงเจอร์

หากคุณมีความสนใจในการแก้ปัญหาที่เป็นรูปธรรมสำหรับปัญหานี้ฉันขอแนะนำให้คุณดูสิ่งพิมพ์ของ T. Junttila (ซึ่งฉันอ้างถึงในคำตอบของฉัน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาและงานของเขาเกี่ยวกับกราฟมอร์ฟ

— Boson

คำตอบ:

ปัญหานี้คือ $FP^{NP}$ ที่สมบูรณ์ดังที่แสดงไว้ที่นี่

มันหมายความว่าผู้นำทางพจนานุกรมของวงโคจรนั้นถูกสร้างขึ้นในเวลาพหุนามที่กำหนดขึ้นได้ด้วยการเข้าถึง a $NP$ -oracle

— Boson
แหล่งที่มา

ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard

แม้ว่ามันอาจจะเป็นไปได้ที่จะหารูปแบบที่ยอมรับบางอย่างสำหรับสตริงมอร์ฟกล่าวว่าในเวลากึ่งอาชีวะโดยไม่ต้อง upsetting คาดเดาของเราในปัจจุบันเป็นวิธีการที่มีลักษณะซับซ้อนโลกหาlexicographically น้อย isomorphic สตริง NP-ยาก นี่คือความแม่นยำในเนื้อหาของข้อเสนอ 3.1 ที่นี่ ในความเป็นจริงพวกเขาแสดงว่ามันยังคง NP- ยากแม้ $G$ เป็น Abelian ระดับประถมศึกษา 2 กลุ่ม (= องค์ประกอบที่ไม่เกี่ยวข้องทุกอย่างของ $G$ มีคำสั่ง 2)

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา