เราสามารถสร้าง mod 3 อย่างสม่ำเสมออย่างสมบูรณ์แบบหรือแก้ปัญหา NP อย่างรวดเร็วหรือไม่?

พูดตามตรงฉันไม่รู้มากว่าจะสร้างเลขสุ่มได้อย่างไร (ยินดีต้อนรับความคิดเห็น!) แต่สมมติว่ามีรูปแบบเชิงทฤษฎีต่อไปนี้: เราสามารถรับจำนวนเต็มแบบสุ่มจาก$[1,2^n]$และเป้าหมายของเราคือการส่งออก จำนวนเต็มสุ่มอย่างสม่ำเสมอจาก [1,3]

วิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายซึ่งคาดว่าเวลาทำงานคือพหุนามมีดังต่อไปนี้ ละทิ้ง$2^n$ (และอาจเป็น$2^n-1$ ) จาก$[1,2^n]$เพื่อให้จำนวนของจำนวนเต็มที่เหลืออยู่หารด้วย$3$ดังนั้นเราจึงสามารถใช้$\bmod 3$ของจำนวนเต็มที่สร้างขึ้น หากเราได้รับหมายเลขที่ถูกทิ้งเราจะสร้างอีกหมายเลขหนึ่งจนกว่าเราจะได้หมายเลขที่ไม่ถูกทิ้ง

แต่ถ้าเราต้องการยกเลิกอย่างแน่นอนในเวลาพหุนาม เนื่องจากปัญหาการแบ่งแยกปัญหาจะกลายเป็นแก้ไม่ได้ อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าเราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้ได้ไหม

สมมติว่าเราสามารถสร้างจำนวนเต็มสุ่มจาก$[1,2^n]$และเราจะได้รับปัญหาที่ยาก เป้าหมายของเราคือการส่งออกจำนวนเต็มสุ่มอย่างสม่ำเสมอจาก [1,3] หรือแก้ปัญหาอย่างหนัก

ที่นี่ปัญหาที่ยากสามารถแยกแยะจำนวนเต็มแก้อินสแตนซ์ SAT หรือสิ่งที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่นเราสามารถถอดรหัสการสับเปลี่ยนแบบทางเดียว$f$ดังนี้ถ้าเราได้รับ$f(x)$ (และสมมติว่า$n$เป็นคู่): ถ้าเราใช้สตริงแบบสุ่ม$f(r)<f(x)$จากนั้นใช้$f(r) \bmod 3$ถ้า$f(r)>f(x)$แล้วใช้$f(r)-1\bmod 3$3 สุดท้ายถ้า$f(r)=f(x)$แล้วเราจะทำเช่น$r=x$ x (ถ้า$n$แปลกแล้วก็มีงานคล้าย ๆ กันเราต้องตรวจสอบว่า$f(r+1)=f(x)$และลบ$2$ถ้า$f(r)>f(x)$ )

สรุปคำตอบ Emil Jeřábekแสดงให้เห็นว่าหากเราไม่สามารถสร้างผลงานได้อย่างสมบูรณ์แบบเราสามารถแก้ปัญหาการค้นหาที่มีค่าเดียวจาก TFNP และจาก PPA-3 ในทางกลับกันแดเนียลโลได้แสดงให้เห็นว่าเราไม่สามารถแก้ปัญหา NP-complete ได้ด้วยวิธีข้างต้นเว้นแต่ว่า NP = co-NP

จากการติดตามคำตอบของ domotorp ฉันเชื่อว่าเราสามารถแก้ปัญหาการค้นหา NP ได้ตามข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้:

1. จำนวนของการแก้ปัญหาที่เป็นที่รู้จักและไม่หารด้วย ; หรือ,$3$

2. จำนวนการแก้ปัญหาถูก จำกัด ขอบเขตแบบพหุนาม (แต่ไม่ทราบล่วงหน้า)

สำหรับ 1. เราสามารถใช้ padding แบบง่าย ๆ เพื่อลดเป็นกรณีต่อไปนี้:

• การแก้ปัญหามาจากซึ่งคือเท่ากัน$[0,2^{m-1})$$m$

• จำนวนคำตอบน่าพอใจs$s$$s\equiv1\pmod3$

• วิธีแก้ปัญหาใด ๆ อย่างน้อยระยะทางห่างกัน (บอกว่าพวกมันทั้งหมดหารด้วย )$4$$4$

ขอให้สังเกตว่า2 ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาได้โดยเลือกสุ่มและใช้โปรโตคอลที่คล้ายกันเช่นเดียวกับในคำตอบของฉันสำหรับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะถ้าทำให้เกิดการกระจาย ในสั้นของหนึ่งต่อแต่ละโซลูชั่น) และการแสดงผลถ้าเมตร)$3\mid 2^m-s$$a\in[0,2^m)$$a\in[0,2^m-s)$$\{0,1,2\}$$0$$s$$0$$a\in[2^m-s,2^m)$

สำหรับ 2. สมมติแรกที่จำนวนของการแก้ปัญหาเป็นที่รู้จักกัน ในขณะที่/cstheory//a/37546ให้เป็นพลังงานที่ใหญ่ที่สุดของที่แบ่งเพื่อให้{3} ลองพิจารณาปัญหาการค้นหาซึ่งคำตอบคือซึ่งและแต่ละเป็นวิธีแก้ปัญหาดั้งเดิม ในมือข้างหนึ่งปัญหาดั้งเดิมลดลงไปที่ใหม่ ในทางกลับกันจำนวนการแก้ปัญหาของปัญหาใหม่คือคือไม่หารด้วย$s\le p(n)$$3^k$$3$$s$$3\nmid\binom s{3^k}$$y_0,\dots,y_{3^k-1}$$y_0<y_1<\dots<y_{3^k-1}$$y_i$$\binom s{3^k}$$3$และรู้จัก ดังนั้นเราจะทำโดย 1

ตอนนี้ถ้าจำนวนของการแก้ปัญหาถูกล้อมรอบด้วยแต่ไม่เป็นที่รู้จักเราเรียกใช้โปรโตคอลข้างต้นครั้ง ( ) ในแบบคู่ขนานสำหรับแต่ละทางเลือกที่เป็นไปได้ของและ:$p(n)$$2^\ell$$2^\ell\ge p(n)$$1\le s\le2^\ell$

• หากเธรดใด ๆ ส่งคืนโซลูชันของปัญหาดั้งเดิมเราจะส่งหนึ่งเธรดดังกล่าวไปยังเอาต์พุต

• ถ้ากระทู้ทั้งหมดที่ผลตอบแทนองค์ประกอบเราส่งออก(r_1$r_1,\dots,r_{2^\ell}\in\{0,1,2\}$$(r_1+r_2+\dots+r_{2^\ell})\bmod3$

เงื่อนไขในเหตุการณ์ที่สองมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในเพราะเป็นจำนวนจริงของการแก้ปัญหาเดิมในขณะที่อื่น ๆเป็นอิสระจากดังนั้นผลรวมทั้งหมดจึงกระจายอย่างสม่ำเสมอ .$r_s$$\{0,1,2\}$$s$$r_i$$r_s$

ฉันจะใช้ตัวเลขที่เริ่มต้นจากแทนที่จะเป็นเพราะฉันคิดว่ามันเป็นธรรมชาติมากขึ้น$0$$1$

นี่คือปัญหาสองระดับที่เราสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้:

1. ฟังก์ชั่นใน TFNP (เช่นปัญหาการค้นหา NP รวมที่มีมูลค่าเดียว)

   (นี่เป็นการสรุปตัวอย่างที่มีวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบทางเดียวซึ่งรวมถึงปัญหาการตัดสินใจกรณีพิเศษจาก )$\mathrm{UP\cap coUP}$

   การตั้งค่าคือเรามีพหุนามเวลาพหุนามและพหุนามเช่นนั้นสำหรับทุก ๆความยาวมีความยาวเฉพาะของความยาวเช่นนั้นถือ งานคอมพิวเตอร์คือให้ค้นหาY$R(x,y)$$p(n)$$x$$n$$y$$m=p(n)$$R(x,y)$$x$$y$

   ตอนนี้ผมจะสมมติว่า WLOGแม้จะเพื่อให้1 อัลกอริทึมคือการสร้างแบบสุ่มและเอาท์พุท$m$$2^m\equiv 1\pmod3$$y\in[0,2^m)$

   • $y$ (เป็นวิธีแก้ปัญหาการค้นหา) ถ้า ;$R(x,y)$

   • $y-y'$ (เป็นองค์ประกอบสุ่มของ ) ถ้าและ ;$\{0,1,2\}$$y-y'\in\{1,2\}$$R(x,y')$

   • $y\bmod3$ (เป็นองค์ประกอบสุ่มของ ) ถ้าไม่มีแก้y)$\{0,1,2\}$$y'\in\{y,y-1,y-2\}$$R(x,y')$

   หากไม่มีวิธีการแก้ไขปัญหาการค้นหาตัวเลือกแบบสุ่มจะให้และครั้งและครั้ง (อีกหนึ่ง) แต่ถ้าแก้ปัญหาการค้นหาเรา tinkered กับองค์ประกอบ (ซึ่งตีทุกสามชั้นตกค้าง) เพื่อให้พวกเขาเพียง แต่ผลิตสารตกค้างที่และซึ่งปรับประโยชน์จาก0(ฉันสมมุติว่าที่นี่ wlog ที่ )$2^m$$1$$2$ $(2^m-1)/3$$0$ $(2^m+2)/3$$y$$y,y+1,y+2$$1$$2$$0$$y<2^m-2$

2. PPA-ปัญหาการค้นหา$3$

   วิธีที่สะดวกในการกำหนด PPA-คือปัญหาการค้นหาของ NP หลายคนสามารถแก้ไขปัญหาประเภทต่อไปนี้ได้ เรามีฟังก์ชันพหุนามแบบคงที่และพหุนามเช่นนั้นสำหรับอินพุตใด ๆของความยาว , การทำแผนที่เหนี่ยวนำถูก จำกัด ให้อินพุตของความยาวเป็นฟังก์ชั่ความพึงพอใจทุกปีงานมีให้หา fixpointของ : y$3$$f(x,y)$$p(n)$$x$$n$$f_x(y)=f(x,y)$$y$$m=p(n)$$f_x\colon[0,2^m)\to[0,2^m)$$f_x(f_x(f_x(y)))=y$$y$$x$$y$$f_x$$f_x(y)=y$

   เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ตามวิธีในคำถามดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดของความยาวเราจะสร้างความยาวของความยาวและสุ่มเอาท์พุท$x$$n$$y$$m=p(n)$

   • $y$ถ้ามันเป็น fixpoint ของ ;$f_x$

   • มิฉะนั้น ,และเป็นองค์ประกอบที่แตกต่างกัน เราสามารถติดป้ายกำกับพวกเขาเป็นกับ , และเอาท์พุทดังกล่าวว่าการ y$y$$f_x(y)$$f_x(f_x(y))$$\{y,f_x(y),f_x(f_x(y))\}=\{y_0,y_1,y_2\}$$y_0<y_1<y_2$$i\in\{0,1,2\}$$y=y_i$

   เป็นที่ชัดเจนจากคำจำกัดความที่สิ่งนี้ให้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนเนื่องจาก non-fixpoint ของมาใน triples$\{0,1,2\}$$y$

ผมขอแสดงให้เห็นถึงการบันทึกความเท่าเทียมกันของปัญหาข้างต้นกับปัญหาที่สมบูรณ์ของ Papadimitriou สำหรับ PPA -เนื่องจากคลาสนี้ส่วนใหญ่ถูกทอดทิ้งในวรรณคดี ปัญหาดังกล่าวถูกกล่าวถึงใน Buss, Johnson:“ หลักฐานพิสูจน์เชิงประพจน์และการลดลงระหว่างปัญหาการค้นหา NP "แต่พวกเขาไม่ได้กล่าวถึงความเท่าเทียมกัน สำหรับ PPA มีปัญหาคล้ายกัน (LONELY) ใน Beame, Cook, Edmonds, Impagliazzo และ Pitassi:“ ความซับซ้อนของปัญหาการค้นหาปัญหา NP” ไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์ด้านล่างใช้งานได้โดยอนุโลมสำหรับนายกแปลก ๆ$3$$3$

ข้อเสนอ:ปัญหาการค้นหา NP ต่อไปนี้คือโพลีเวลาหลาย ๆ ค่าที่ลดลงได้ซึ่งกันและกัน:

1. ให้วงจรที่เป็นตัวแทนของกราฟสองทิศทางที่ไม่ได้กำหนดทิศทางและจุดยอดซึ่งปริญญาไม่สามารถหารด้วยได้หาจุดสุดยอดอีกอัน$(A\cup B,E)$$u\in A\cup B$$3$

2. เมื่อพิจารณาวงจรที่แสดงกราฟกำกับและจุดยอดที่ระดับดุล (กล่าวคือออกนอกองศาลบด้วยองศา) ไม่หารด้วยให้หาจุดยอดอีกอัน$(V,E)$$u\in V$$3$

3. ป.ร. ให้วงจรการคำนวณฟังก์ชันเช่นที่ค้นหา fixpoint ของฉ$f\colon[0,2^n)\to[0,2^n)$$f^3=\mathrm{id}$$f$

พิสูจน์:

$1\le_p2$เห็นได้ชัดเนื่องจากมันเพียงพอที่จะนำขอบจากซ้ายไปขวา

$2\le_p1$ : ก่อนอื่นให้เราสร้างกราฟสองฝ่ายที่มีน้ำหนัก ให้และเป็นสำเนาของ : ,\} สำหรับแต่ละขอบเดิมเราใส่ในขอบของน้ำหนักและขอบของน้ำหนัก-1สิ่งนี้ทำให้เท่ากับระดับสมดุลของในกราฟต้นฉบับ หากเป็นจุดสมดุลที่กำหนดเราจะเพิ่มขอบพิเศษของน้ำหนัก$A$$B$$V$$A=\{x^A:x\in V\}$$B=\{x^B:x\in V\}$$x\to y$$\{x^A,y^B\}$$1$$\{x^B,y^A\}$$-1$$\deg(x^A)=-\deg(x^B)$$x$$u$$b\not\equiv0\pmod3$$\{u^A,u^B\}$$b$เพื่อให้และ 0 จะเป็นจุดสุดยอดที่เราเลือก$\deg(u^A)=2b\not\equiv0\pmod3$$\deg(u^B)=0$$u^A$

เพื่อที่จะทำให้กราฟเป็นกราฟที่ไม่มีการบอกทิศทางแบบไม่ธรรมดาเราจะลดโมดูโลน้ำหนักทั้งหมดก่อนและลดน้ำหนักที่ขอบทั้งหมด เหลือเพียงขอบน้ำหนักและเท่านั้น หลังสามารถแทนที่ด้วยอุปกรณ์ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเป็นขอบน้ำหนักเรารวมจุดยอดใหม่ ,สำหรับ , ด้วยขอบ , , , , : สิ่งนี้ทำให้$3$$0$$1$$2$$2$$\{x^A,y^B\}$$w_i^A$$z_i^B$$i=0,\dots,3$$\{x^A,y^B\}$$\{x^A,z^B_i\}$$\{w^A_i,y^B\}$$\{w^A_i,z^B_i\}$$\{w^A_i,z^B_{(i+1)\bmod4}\}$$\deg(w_i^A)=\deg(z_i^B)=3$และก่อเพื่อและ B$5\equiv2\pmod3$$x^A$$y^B$

$3\le_p2$ : ผมขอสมมติสำหรับความเรียบง่ายคือแม้เพื่อให้2เราสร้างกราฟกำกับบนดังนี้:$n$$2^n\equiv1\pmod3$$V=[0,2^n)$

• เรารวมถึงขอบและสำหรับแต่ละx$3x+1\to3x$$3x+2\to3x$$x<2^n/3-1$

• หากเป็นวงโคจรที่ไม่ fixpoint ของเรารวมถึงขอบและx_2$x_0<x_1<x_2$$f$$x_0\to x_1$$x_0\to x_2$

จุดสุดยอดได้รับการแต่งตั้งจะเป็นn-1 ข้อแรกก่อความสมดุลหรือแต่ละจุดสุดยอดยู ประโยคที่สองมีส่วนทำให้เกิดความสมดุลหรือไปยังจุดยอดที่ไม่ใช่จุดตรึง ดังนั้นสมมติว่าไม่ได้ fixpoint ก็ย่อมไม่สมดุลแบบโมดูโลและยอดใด ๆ อื่น ๆ ที่ไม่สมดุลแบบโมดูโลเป็น fixpoint ของฉ$u=2^n-1$$1$$-2\equiv1\pmod3$$\ne u$$-1$$2\equiv-1\pmod3$$u$$3$$3$$f$

$1\le_p3$ : เราอาจคิดว่ากับได้และได้รับยอดมีปริญญา\$A=B=[0,2^n)$$n$$u\in A$$\equiv2\pmod3$

เราได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถฉลากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นขอบด้วยยอดเป็นที่(Y) ด้วยวิธีนี้จะกลายเป็นส่วนหนึ่งของซึ่งเราระบุด้วย{2n}) เรากำหนดฟังก์ชันบนดังนี้$y\in B$$(y,j)$$j<\deg(y)$$E$$[0,2^n)\times[0,2^n)$$[0,2^{2n})$$f$$[0,2^n)\times[0,2^n)$

• ในการเติมเต็มของ : สำหรับแต่ละและนั่นเราทำ , ,3j) นอกจากนี้ , ,สำหรับn-1 สิ่งนี้ออกจากจุดและคะแนนสำหรับแต่ละซึ่งระดับไม่สามารถหารด้วย .$E$$y\in B$$j$$\deg(y)\le 3j<2^n-1$$f(y,3j)=(y,3j+1)$$f(y,3j+1)=(y,3j+2)$$f(y,3j+2)=(y,3j)$$f(3i,2^n-1)=(3i+1,2^n-1)$$f(3i+1,2^n-1)=(3i+2,2^n-1)$$f(3i+2,2^n-1)=(3i,2^n-1)$$3i<2^n-1$$(2^n-1,2^n-1)$$3-(\deg(y)\bmod 3)$$(y,i)$$y\in B$$3$

• ใน : สำหรับแต่ละเราแก้ไขการแจงนับที่มีประสิทธิภาพของขอบเหตุการณ์โดยที่x) เราใส่ , ,สำหรับ\ สิ่งนี้จะทำให้คะแนนสำหรับแต่ละจุดยอดซึ่งระดับหารด้วยไม่ได้$E$$x\in A$$(y_0,j_0),\dots,(y_{d-1},j_{d-1})$$d=\deg(x)$$f(y_{3i},j_{3i})=(y_{3i+1},j_{3i+1})$$f(y_{3i+1},j_{3i+1})=(y_{3i+2},j_{3i+2})$$f(y_{3i+2},j_{3i+2})=(y_{3i},j_{3i})$$i<\lfloor d/3\rfloor$$\deg(x)\bmod3$$x\in A$$3$

ตั้งแต่ขอบของเหตุการณ์ทั้งสองถูกปล่อยออกมา เราทำให้มันกลายเป็นวงจรอีกอันโดยใช้เป็นจุดที่สาม จุดที่เหลือจะเหลือเป็น fixpoints ของฉโดยการก่อสร้างใด ๆ ของพวกเขาจะก่อให้เกิดการแก้ปัญหาของ (1)$\deg(u)\equiv2\pmod3$$f$$(2^n-1,2^n-1)$$f$

หากคุณได้อย่างสมบูรณ์แบบสามารถสร้าง modหรือแก้ SAT (หรือปัญหา NP-สมบูรณ์อื่น ๆ สำหรับเรื่องที่) แล้วcoNP โดยเฉพาะอย่างยิ่งพิจารณาเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่สมบูรณ์แบบ / แก้เมื่อได้รับสูตร SAT \$3$$NP = coNP$$\phi$

Letเป็นจำนวนสูงสุดของบิตสุ่มวาดโดยกำเนิดในปัจจัยการผลิตที่มีขนาดnเนื่องจากตัวกำเนิดทำงานในเวลาพหุนามคือพหุนาม ตั้งแต่ไม่หารด้วยจะต้องมีลำดับบางส่วนของที่มากที่สุดเหรียญกลมๆที่จะทำให้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเอาท์พุท (ที่ถูกต้อง) คำตอบสำหรับ\ดังนั้นถ้าไม่น่าพอใจมีชุดเหรียญที่ทำให้เครื่องปั่นไฟบอกว่าไม่น่าพอใจ ถ้าเป็นที่น่าพอใจผู้สร้างจะไม่อ้างว่าอย่างผิด ๆ$\ell(n)$$n$$\ell(n)$$2^{\ell(n)}$$3$$\ell(n)$$\phi$$\phi$$\phi$$\phi$$\phi$ไม่น่าพอใจไม่ว่าจะเป็นเหรียญอะไร ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่าภาษาสูตร unsatisfiable อยู่ในหมายความcoNP $UNSAT$$NP$$NP = coNP$

ดังนั้นนี่คือส่วนขยายของการโต้แย้งของ Emil ที่แสดงว่าปัญหาการค้นหาที่จำนวนการแก้ปัญหาคือ 1, 2 หรือ 4 (เราไม่จำเป็นต้องทราบว่าจะแก้ไขข้อใด) ในวิธีข้างต้น ฉันโพสต์มันเป็นคำตอบเพราะมันนานเกินไปสำหรับความคิดเห็นและฉันหวังว่าบางคนฉลาดกว่าที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าอันที่จริงจำนวนของการแก้ปัญหาสามารถเป็นอะไรที่ไม่หารด้วย 3

พูดว่าสตริงสุ่มอยู่ใกล้กับสารละลาย (เช่นกับซึ่งถือ) ถ้าหนึ่งใน ,หรือถือ (สำหรับความเรียบง่ายสมมติว่าและ . ไม่ได้แก้ปัญหา) ในการแก้ปัญหาของ Emil มันก็มากพอที่จะสร้างสตริงแบบสุ่มและเอาท์พุทยกเว้นว่าเราในท้องถิ่นทั่วซอโซลูชั่น; ฉันไม่เข้าไปดูรายละเอียดดูคำตอบของเขา มันก็เพียงพอแล้วสำหรับเราที่ว่าถ้าอยู่ใกล้กับวิธีแก้ปัญหาแล้วเราสามารถฆ่าหมายเลขโดยพลการ$r$$y$$R(x,y)$$R(x,r)$$R(x,r+1)$$R(x,r+2)$$y=0$$y=1$$r$$r\bmod 3$$r$$\bmod 3$โดยอาจจะเป็นวิธีการแก้ปัญหาการแสดงผลเพื่อให้สำหรับส่วนที่เหลือของที่ 'sฟังก์ชั่นให้เครื่องแบบหมายเลขที่ดีเลิศ3$r$$r\bmod 3$$\bmod 3$

ตอนนี้ให้เราคิดว่าจำนวนของการแก้ปัญหาเป็น 1 หรือ 2 สำหรับการใด ๆxเราสร้างสองสายสุ่มของความยาว :และr_2ถ้าอย่างน้อยหนึ่งของพวกเขาไม่ได้ใกล้เคียงกับการแก้ปัญหาที่เราส่งออก3 สำหรับความเรียบง่ายสมมติว่าเป็นอย่างนั้นเพื่อให้เรามี 0 พิเศษถ้าเราทำสิ่งนี้และสมมติว่าถ้ามีวิธีแก้ปัญหาสองข้อพวกมันอยู่ไกล หากทั้งและใกล้เคียงกับวิธีแก้ปัญหาเดียวกันเราก็ทำไปๆ เพื่อที่เราจะฆ่า 0 ถ้าและใกล้เคียงกับวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันดังนั้นถ้าเราก็ทำไปๆ$x$$n$$r_1$$r_2$$r_1+r_2\bmod 3$$n$$r_1$$r_2$$r_1$$r_2$$r_1<r_2$$r_1>r_2$เราทำไปๆ เพื่อที่เราจะฆ่า 2 วิธีนี้ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเดียวเราจะฆ่า 0 ตัวเดียวในขณะที่ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาสองตัวเราจะฆ่า 0 สองตัวและหนึ่ง 1 และหนึ่ง 2

อาร์กิวเมนต์นี้ไม่สามารถขยายได้ถึง 3 โซลูชั่น แต่อาจเป็น 4 และจากที่นี่ฉันจะร่างไม่สมบูรณ์ สร้างสตริงสุ่มสี่สตริงและเอาท์พุทเว้นแต่ว่าทั้งหมดจะอยู่ใกล้กับโซลูชัน อีกครั้งสมมติว่ามี 0 พิเศษและการแก้ปัญหาอยู่ไกล หากทั้งหมดอยู่ใกล้กับวิธีแก้ปัญหาเดียวกันเราก็จะไปฆ่า 0 ถ้าสามตัวนั้นใกล้กับวิธีแก้ปัญหาเดียวกันที่เล็กกว่าสารละลายที่ที่สี่อยู่ใกล้ ไปรอบ ๆ เพื่อฆ่า a 1 หากสามของอยู่ใกล้กับโซลูชันเดียวกันที่ใหญ่กว่าโซลูชันที่ที่สี่$r_1,r_2,r_3,r_4$$r_1+r_2+r_3+r_4 \bmod 3$$r_i$$r_i$$r_i$$r_i$$r_i$อยู่ใกล้เราจะเพื่อฆ่า 2 หากทั้งหมดอยู่ใกล้กับวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันเราจะฆ่า 0 ของสาม ความถูกต้องของโซลูชันหนึ่งและสองนั้นคล้ายกับกรณีก่อนหน้า สำหรับวิธีแก้ปัญหาสี่ข้อสังเกตว่าเราฆ่าสี่ + สาม 0 ของหก 1 และหก 2$r_i$

ฉันคิดว่าการใช้เหตุผลของย่อหน้าสุดท้ายสามารถขยายไปถึงจำนวนของการแก้ปัญหาที่ไม่สามารถหารด้วย 3 ด้วยพีชคณิตบางตัว คำถามที่น่าสนใจมากขึ้นคือมีโปรโตคอลที่ทำงานสำหรับวิธีแก้ไขปัญหาใด ๆ หรือไม่