อะไรคือคลาส FP, FNP และ TFNP

13

ในหนังสือของเขาการคำนวณความซับซ้อน Papadimitriou กำหนดFNPดังนี้

สมมติว่าภาษาในNP ตามข้อเสนอที่ 9.1 มีพหุนาม - เวลาที่ถอดรหัสได้ความสัมพันธ์เชิงพหุนามที่สมดุลเช่นนั้นสำหรับทุกสาย : มีสตริงมีถ้าหากเท่านั้น ปัญหาฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับแสดงว่าเป็นปัญหาการคำนวณต่อไปนี้: $L$ $R_L$ $x$ $y$ $R_L(x,y)$ $x\in L$ $L$ $FL$

รับหาสตริงซึ่งถ้ามีสตริงอยู่; หากไม่มีสตริงดังกล่าวอยู่ให้ส่งคืน "no" $x$ $y$ $R_L(x,y)$

ชั้นของปัญหาที่ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เกี่ยวข้องดังกล่าวข้างต้นด้วยภาษาในNPเรียกว่าพร่ำ FPเป็นคลาสย่อยที่เกิดขึ้นถ้าเราพิจารณาเฉพาะปัญหาของฟังก์ชั่นในFNPที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

( ... )

( ... ) เราเรียกปัญหาในพร่ำทั้งหมดถ้าสตริงทุกมีอย่างน้อยหนึ่งเช่นว่า )ประเภทรองของพร่ำมีปัญหาฟังก์ชั่นรวมทั้งหมดจะถูกแสดงTFNP $R$ $x$ $y$ $R(x,y)$

ในแผนภาพเวนน์ในภาพรวมบท Papadimitriou หมายความว่าFP TFNP พร่ำ $\subseteq$ $\subseteq$

ฉันมีความเข้าใจยากว่าทำไมมันจึงถือได้ว่าFP TFNPเนื่องจากปัญหาในFPไม่จำเป็นต้องมีทั้งหมดต่อ se $\subseteq$

เพื่อความเข้าใจที่ดียิ่งขึ้นฉันได้ทำการไถนาวรรณคดีเพื่อค้นหาคำจำกัดความกันน้ำของFP , FNPและการเรียงลำดับโดยไม่ประสบความสำเร็จ

ในความเห็นที่ถ่อมตัวของฉันฉันคิดว่ามีเนื้อหาเกี่ยวกับการสอนในหัวข้อเหล่านี้น้อยมาก (ถูกต้อง!)

สำหรับปัญหาในการตัดสินใจชั้นเรียนเป็นชุดของภาษา (เช่นชุดของสตริง)

คลาสสำหรับปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันคืออะไร พวกเขามีความสัมพันธ์ภาษาหรือไม่? คำจำกัดความที่มั่นคงคืออะไร

complexity

— Auberon
แหล่งที่มา

4

สัญกรณ์ทั่วไปค่อนข้างเลอะเทอะ ก่อนอื่น FP คือและถูกใช้เพื่อแสดงคลาสของฟังก์ชั่นโพลี - ไทม์(ด้วยเหตุนี้ทั้งหมด) นอกบริบทของปัญหาการค้นหา NP ที่มันถูกนิยามใหม่ ประการที่สองปัญหาการค้นหาทั้งหมดที่แก้ไขได้ในเวลาพหุนามมีส่วนขยายทั้งหมดที่แก้ไขได้ในเวลาพหุนามดังนั้นในแง่นั้นจึงไม่มีความแตกต่างที่แท้จริงระหว่างคำจำกัดความทั้งหมดและไม่รวมของ FP ดังนั้นทั้งสองจึงถูกทาบทามด้วยการใช้ภาษา

— Emil Jeřábek

11

ความคิดเห็นของ Emil Jerabek เป็นบทสรุปที่ดี แต่ฉันต้องการชี้ให้เห็นว่ามีคลาสอื่น ๆ ที่มีคำจำกัดความที่ชัดเจนกว่าซึ่งจับภาพแนวคิดเดียวกันมากขึ้นหรือน้อยลงและเพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด

[คำเตือน: ในขณะที่ฉันเชื่อว่าฉันได้คำจำกัดความที่ถูกต้องบางสิ่งด้านล่างสะท้อนถึงความชอบส่วนตัวของฉัน - ฉันพยายามที่จะชัดเจนเกี่ยวกับที่ที่เป็นอยู่]

ในโลกที่กำหนดขึ้นคลาสฟังก์ชั่นเป็นเพียงชุดของฟังก์ชั่น (ตามปกติความหมายทางคณิตศาสตร์ของคำว่า "ฟังก์ชั่น" นั่นคือแผนที่ ) บางครั้งเราต้องการอนุญาตให้ "ฟังก์ชั่นบางส่วน" ซึ่งมีเอาต์พุตเป็น "undefined" สำหรับอินพุตบางอย่าง (เทียบเท่าฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในส่วนย่อยของมากกว่าทั้งหมด) $\Sigma^* \to \Sigma^*$ $\Sigma^*$

น่าเสียดายที่มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันสองประการสำหรับลอยไปมาและเท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าพวกเขาไม่เท่ากัน (แม้ว่าพวกเขาจะเทียบเท่า "ศีลธรรม") $\mathsf{FP}$

(นิยาม 1) เป็นคลาสของฟังก์ชันที่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม เมื่อใดก็ตามที่คุณเห็นและไม่อยู่ในบริบทที่ผู้คนกำลังพูดถึงนี่คือคำจำกัดความที่ฉันคิด $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FNP}, \mathsf{TFNP}$

ในโลกที่ไม่คุ้นเคยแบบนี้มันตลกไปหน่อย มีความสะดวกในการอนุญาตให้ "ฟังก์ชั่นบางส่วนมูลค่าหลายค่า" มันจะเป็นธรรมชาติที่จะยังเรียกร้องดังกล่าวเป็นสิ่งฐานความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนหนึ่งของ *แต่จากมุมมองที่ซับซ้อนมันมักจะมีประโยชน์ทางปรัชญาและจิตใจที่จะคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็น "หน้าที่ nondeterministic" ฉันคิดว่าคำจำกัดความเหล่านี้จำนวนมากถูกอธิบายโดยคลาสต่อไปนี้ (ซึ่งคำจำกัดความเป็นมาตรฐานอย่างสมบูรณ์หากไม่เป็นที่รู้จักกันดี): $\Sigma^* \times \Sigma^*$

: คลาสของ "ฟังก์ชั่นบางส่วน, มูลค่าหลายค่า" คำนวณโดยเครื่อง nondeterministic ในเวลาพหุนาม สิ่งนี้หมายความว่ามีเครื่องโพลีเวลา nondeterministic และในการป้อนข้อมูลในแต่ละสาขา nondeterministic มันอาจเลือกที่จะยอมรับและทำให้การส่งออกบางส่วนหรือปฏิเสธและทำให้ไม่มีเอาท์พุท เอาต์พุต "ค่าหลายค่า" บนอินพุตจากนั้นเป็นชุดของเอาต์พุตทั้งหมดในสาขา nondeterministic ทั้งหมดเมื่อกำหนดเป็นอินพุต โปรดทราบว่าชุดนี้สามารถว่างได้ดังนั้นในฐานะที่เป็น "ฟังก์ชั่นที่มีหลายค่า" นี้อาจเป็นเพียงบางส่วนเท่านั้น หากเรานึกถึงมันในแง่ของความสัมพันธ์แบบไบนารีสิ่งนี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ $\mathsf{NPMV}$ $x$ $x$ $x$ } $\{(x,y) : y \text{ is output by some branch of the computation on input } x\}$
: รวม "ฟังก์ชั่น" ในนั่นคือในทุกอินพุตอย่างน้อยหนึ่งสาขายอมรับ (และทำให้การส่งออกตามคำนิยาม) $\mathsf{NPMV}_t$ $\mathsf{NPMV}$ $x$
$\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV}$ $\Sigma^*$
$\mathsf{NPSV}_t$ $\mathsf{NPSV}$ $\Sigma^* \to \Sigma^*$ $\mathsf{NPSV}_t = \mathsf{FP}^{\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}}$

$\mathsf{NPMV} \not\subseteq \mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV}$ $\subseteq_c$ $f$ $g$ $x$ $g$ $f$ $f$ มักจะเป็นส่วนหนึ่งของผลของกรัมคำถามที่ถูกต้องคือว่า "function" ทุกตัวมีการปรับแต่ง ถ้าเป็นเช่นนั้นเราเขียน{NPSV} $g$ $\mathsf{NPMV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$

$\mathsf{PF}$ (มาตรฐานน้อยกว่าเล็กน้อย) คือคลาสของฟังก์ชัน (อาจเป็นบางส่วน) ที่คำนวณได้ในเวลาโพลี นั่นคือฟังก์ชั่น ( ) อยู่ในหากมีเครื่องกำหนดเวลาแบบโพลี - เวลาเช่นนั้นในอินพุตที่ เครื่องจักรเอาท์พุตและอินพุตเครื่องไม่มีเอาต์พุต (/ ปฏิเสธ / บอกว่า "ไม่" / อย่างไรก็ตามคุณต้องการวลีมัน) $f\colon D \to \Sigma^*$ $D \subseteq \Sigma^*$ $\mathsf{PF}$ $x \in D$ $f(x)$ $x \notin D$

$\mathsf{FNP}$ เป็นคลาสของ "ปัญหาฟังก์ชัน" (แทนที่จะเป็นคลาสของฟังก์ชัน) ฉันจะเรียกเป็น "relational class" แต่จริงๆแล้วคำพูดใด ๆ ที่คุณใช้เพื่ออธิบายคุณจำเป็นต้องอธิบายตัวเองในภายหลังซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมฉันถึงไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคำนิยามนี้ สำหรับความสัมพันธ์แบบไบนารีใด ๆมีปัญหา "ฟังก์ชั่น" ที่เกี่ยวข้อง ปัญหาฟังก์ชั่นคืออะไร? ฉันไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่สะอาดเหมือนที่ฉันทำกับภาษา / ฟังก์ชั่น / ความสัมพันธ์ ค่อนข้างมันถูกกำหนดโดยสิ่งที่เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องคือการแก้ปัญหาที่ถูกต้องของปัญหาฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับคือฟังก์ชั่นใด ๆ (อาจเป็นบางส่วน)เช่นถ้า $\mathsf{FNP}$ $R \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*$ $R$ $f$ $(\exists y)[R(x,y)]$ $f$ ผลลัพธ์ใด ๆ, และไม่ส่งออกใด ๆ เป็นคลาสของปัญหาการทำงานที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เช่น (เมื่อพิจารณาว่าเป็นภาษาของคู่) และเป็น p-balance ดังนั้นไม่ใช่คลาสของฟังก์ชั่นหรือคลาสของภาษา แต่เป็นคลาสของ "ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชัน" โดยที่ "ปัญหา" ที่นี่ถูกกำหนดอย่างคร่าวๆในแง่ของความหมายในการแก้ปัญหา $y$ $f$ $\mathsf{FNP}$ $R$ $R \in \mathsf{P}$ $\mathsf{FNP}$
$\mathsf{TFNP}$ เป็นชั้นของปัญหาการทำงานใน - กำหนดโดยความสัมพันธ์ข้างต้น - ดังกล่าวคือทั้งหมดในแง่ที่ว่าทุก ๆมีที่ . $\mathsf{FNP}$ $R$ $R$ $x$ $y$ $R(x,y)$

เพื่อที่จะไม่ต้องเขียนสิ่งต่าง ๆ เช่น "ถ้าทุก (resp., ) ปัญหาฟังก์ชั่นมีทางออกใน (resp.,ตามข้างต้น นิยาม) จากนั้น ... "ในบริบทนี้ใช้นิยาม 2 ของซึ่งก็คือ: $\mathsf{FNP}$ $\mathsf{TFNP}$ $\mathsf{PF}$ $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FP}$

$\mathsf{FP}$ (คำจำกัดความ 2) เป็นคลาสของปัญหาฟังก์ชันในซึ่งมีวิธีการแก้ปัญหาแบบโพลี - เวลา หนึ่งสามารถสรุปได้ว่าวิธีการแก้ปัญหา (= ฟังก์ชั่น) นี่คือผลรวมโดยการเลือกสตริงพิเศษที่ไม่ถูกต้องสำหรับการใด ๆและมีฟังก์ชั่นการส่งออกเมื่อมีมิฉะนั้นจะไม่สามารถใช้งานปี(หากจำเป็นเราสามารถแก้ไขความสัมพันธ์โดยเติมทุก ๆด้วย 1 แล้วนำมาเป็นสตริง 0 ซึ่งจะไม่เปลี่ยนความซับซ้อนของสิ่งที่เกี่ยวข้อง) $\mathsf{FNP}$ $y_0$ $y$ $x$ $y_0$ $y$ $R$ $y$ $y_0$

นี่คือความหมายต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับคำนิยามเหล่านี้ (คำจำกัดความ 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณควรถือว่าเนื่องจากอยู่ในบริบทที่มีการเปรียบเทียบกับ ) เพื่อ{PF} (def 2) เทียบเท่ากับ (def 1) $\mathsf{FNP} \subseteq \mathsf{FP}$ $\mathsf{FNP}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{PF}$ $\mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FP}$ $\mathsf{NPMV}_t \subseteq_c \mathsf{FP}$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบมากมาย ฉันพยายามที่จะแยกแยะมันและมันมีประโยชน์มากจนถึงตอนนี้ ฉันถือว่าคุณหมายถึงFP FNPและFP TFNPในย่อหน้าสุดท้ายหรือไม่

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

— Auberon

1

@ Auberon: ไม่ย่อหน้าสุดท้ายคือการแปลระหว่างการคาดเดาต่างๆ มันบอกว่าฯลฯ

F N P \subseteq F P \Leftrightarrow N P M V \subseteq_{c} P F

$\mathsf{FNP} \subseteq \mathsf{FP} \Leftrightarrow \mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{PF}$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochowหรือเป็นไปได้หรือลำดับชั้นยุบลง? นอกจากนี้ยังไม่ในหรือโอละพ่อถือ (ดูเหมือนว่าเป็นไปตามที่มีดูเหมือนไม่มีความหมายทางใดทางหนึ่ง)?

N P \in P^{T F N P}

$NP\in P^{TFNP}$

N P \in P^{U P}

$NP\in P^{UP}$

P^{U P}

$P^{UP}$

P^{T F N P}

$P^{TFNP}$

— T ....

3

นอกจากคำตอบที่กว้างขวางของ Joshua ฉันต้องการเพิ่มคำจำกัดความต่อไปนี้จาก Elaine Ruch ออโตมาตะการคำนวณและความซับซ้อนของเธอ

The Class FP : ไบนารีสัมพันธ์อยู่ใน IFF มีขั้นตอนวิธีการกำหนดเวลาพหุนามว่าได้รับการป้อนข้อมูลโดยพลสามารถหาบางเช่นว่าQ $Q$ $\mathsf{FP}$ $x$ $y$ $(x,y) \in Q$

The Class พร่ำ : ไบนารีสัมพันธ์อยู่ใน IFF มีเวลาพหุนามกำหนดตรวจสอบให้คู่อินพุตพลกำหนดว่าQ เท่าเทียมกันอยู่ใน iff มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม nondeterministic ที่กำหนดให้ป้อนข้อมูลโดยพลการสามารถหาเช่นนั้น $Q$ $\mathsf{FNP}$ $(x,y)$ $(x,y) \in Q$ $Q$ $\mathsf{FNP}$ $x$ $y$ $(x,y) \in Q$

จากคำนิยามเหล่านี้เป็นที่ชัดเจนว่า{} นอกจากนี้เธอยังพูดถึงเวลาสั้น ๆ เกี่ยวกับปัญหาด้านนอกของ{} $\mathsf{FP} \subseteq \mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FNP}$ $\mathsf{FNP}$

สำหรับฉันนี่เป็นทรัพยากรที่น่าพึงพอใจที่สุดที่ประกอบไปด้วยหน้าเดียวที่ฉันค้นพบมาเป็นเวลานาน

— Auberon
แหล่งที่มา

หลังจากที่ฉันได้ให้คำจำกัดความความคิดเหล่านี้ฉันสงสัยว่าคำจำกัดความ 'เทียบเท่า' สองคำของไม่เท่ากันเลย ...

F N P

$\mathsf{FNP}$

— Auberon

p

$p$

\exists y

$\exists y$

(x, y) \in Q

$(x,y) \in Q$

y

$y$

| y | \leq p (| x |)

$|y| \leq p(|x|)$

y

$y$