เพิ่มการจับคู่ให้กับเส้นทาง Hamiltonian เพื่อลดระยะห่างสูงสุดระหว่างคู่ยอดที่กำหนด

ความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้คืออะไร?

อินพุต :

$H$ เส้นทางแฮมิลตันใน $K_n$
$R \subseteq [n]^2$ เซตย่อยของคู่ยอด
จำนวนเต็มบวก $k$

คำค้นหา : มีการจับคู่ $M$ เช่นนั้นสำหรับทุก ๆ $(v,u) \in R$ , $d_G(v,u) \leq k$ ?
(โดยที่ $G = ([n], M\cup H)$ )

ฉันได้คุยกับเพื่อนเกี่ยวกับปัญหานี้ เพื่อนของฉันคิดว่าปัญหาอยู่ในเวลาพหุนาม ฉันคิดว่ามันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์

— pfim
แหล่งที่มา

คุณสามารถทำให้เรื่องนี้ง่ายขึ้นอย่างน้อยก็ในแง่ของการนำเสนอ คุณจะได้รับ

, เส้นทางที่มีจุดยอด

และชุด

k

$k$

n

$n$

R

$R$ ของคู่ของจุดยอดเหล่านี้ คุณต้องการที่จะขยายเส้นทางที่มีการจับคู่เพื่อให้ระยะห่างระหว่างคู่ใด ๆ ใน

ที่มากที่สุดk

R

$R$

k

$k$

— Sasho Nikolov

ฉันคิดว่าสูตรนี้อาจสับสนหลังจากการแก้ไขครั้งล่าสุดของฉันเพื่อลบความคลุมเครือบางอย่าง

— pfim

การตีความของฉันถูกต้องใช่มั้ย

— Sasho Nikolov

ฉันแก้ไขเพื่อให้คำแถลงปัญหามีความเข้มงวดมากขึ้น ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นอีกเพราะคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่า H คือเส้นทาง Hamiltonian 1-2-3-4-5 ...-n โดยไม่สูญเสียความเป็นนายพล ดังนั้นคุณก็ต้องn

n

$n$

— Kaveh

คำตอบ:

คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เพื่อนของคุณพูดถูก ปัญหาของคุณ (ตามการตีความโดย Sasho) ไม่วางข้อ จำกัด ใด ๆ บน cardinality ของการจับคู่Cดังนั้นเลือกเพื่อเป็นการจับคู่ระหว่างคู่เข้า $C$ $C$ Rแล้วสำหรับการใด ๆ จำนวนเต็มบวกระยะห่างระหว่างคู่ในทุกน้อยกว่าk $R$ $k$ $R$ $k$

ปัญหาของคุณจะกลายเป็นที่น่าสนใจถ้าคุณบังคับให้เส้นทางที่จะมีขอบทั้งจากการจับคู่และเส้นทางP $C$ $P$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงอะไรโดย“ จับคู่ระหว่างคู่ใน

”?

R

$R$

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

@ EmilJeřábekมันหมายถึงการเชื่อมต่อโหนดของทุกคู่ใน

โดยขอบ ดังนั้น

เป็นเพียง

โดยมีการเชื่อมต่อที่ขอบทุกคู่ นี้จะเทียบเท่ากับการขยายเส้นทาง

กับดนตรีที่สมบูรณ์แบบในคู่ของR

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Mohammad Al-Turkistany

ดูเหมือนจะไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน เกิดอะไรขึ้นถ้า

ไม่ใช่การจับคู่? พูดถ้า

มีคู่

และ

คุณจะเลือก

อย่างไร?

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

@ EmilJeřábekใช่ จุดของคุณถูกต้อง ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉัน

— Mohammad Al-Turkistany

@pfim เส้นทางที่สั้นที่สุดสามารถเกิดขึ้นได้โดยใช้เพียงขอบจาก

C

$C$

— Mohammad Al-Turkistany

UPDATE:คำตอบดังต่อไปนี้ไม่ถูกต้องเพราะผมถือว่าผิดว่าเส้นทางมิลอยู่ในกราฟโดยพลการไม่ได้อยู่ใน nฉันไม่ได้ลบมันทิ้งบางทีฉันอาจจะแก้ไขได้หรือจะให้คำแนะนำสำหรับคำตอบอื่น $K_n$

ฉันคิดว่ามันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ นี่เป็นแนวคิดการลดอย่างไม่เป็นทางการ / อย่างรวดเร็วจาก 3SAT

สำหรับตัวแปรทุกเพิ่ม "แกดเจ็ตตัวแปร" ด้วย: $x_i$

สามโหนด $X_i, +X_i, -X_i$
ขอบตัวแปรสองตัวและ $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

เพิ่มโหนดต้นทางและเชื่อมต่อกับตัวแปรทั้งหมด $S$ ฉัน $X_i$

สำหรับแต่ละข้อเพิ่มโหนดและเชื่อมต่อกับตัวแปรที่เกี่ยวข้องหรือ $C_j$ $C_j$ $+X_i$ ที่เป็นส่วนคำสั่ง $-X_i$

ภาพต่อไปนี้แสดง: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

ชุด (โหนดที่ต้องเชื่อมโยง) มี $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

เส้นทางที่ง่ายควรรวมถึงขอบ "BLUE" ทั้งหมดยกเว้นขอบตัวแปรและ $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ (ในภาพด้านบนขอบสีน้ำเงินแสดงถึงขอบที่เรารวมไว้ใน ) $P$

ณ จุดนี้สูตรเริ่มต้นจะน่าพอใจถ้าเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปยังแต่ละโหนดไม่มากกว่าสาม อันที่จริงจะไปถึงข้อจากในสามขั้นตอนที่เราจะต้องตัดผ่านตัวแปรอย่างน้อยหนึ่ง : เจดังนั้นเราต้องข้ามหนึ่งในสองขอบ: หรือ (เพราะจากการก่อสร้างมันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ และรวมไว้ใน $X_i \to -X_i)$ $C$ ) แต่ทั้งสองไม่สามารถรวมได้เพราะพวกเขาแบ่งปันจุดสุดยอด $P$

แต่เราไม่แน่ใจว่าเราสามารถสร้างเส้นทางแบบง่าย ๆที่มีขอบสีน้ำเงินทั้งหมดได้เนื่องจากบางโหนดมีมากกว่าหนึ่งขอบสีน้ำเงินที่ตกกระทบ $P$

ในการแก้ไขปัญหานี้เราแทนที่แต่ละโหนดด้วยขอบสีน้ำเงินหลายค่าโดยมีต้นไม้ที่มีเพียงคู่ของขอบสีน้ำเงินที่ตกกระทบซึ่งจะรวมอยู่ในและขอบที่แยกออกจากกันและควรรวมไว้ในเพื่อเข้าถึงโหนดส่วนคำสั่ง: $P$ $C$

กราฟดั้งเดิมจะกลายเป็น:

$K$ $C_j$ $S$

$C$

$P$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

การพยายามสร้างเส้นทางที่มีขอบสีฟ้าทั้งหมดทำให้ฉันเป็นกังวล: จุดยอดนิยมบางจุดมีขอบสีฟ้าเกิดขึ้นมากกว่า 2 จุดดังนั้นจึงไม่มีเส้นทางแบบง่าย ๆ รวมถึงขอบสีน้ำเงินทั้งหมด

— Mikhail Rudoy

โอเคขอบคุณ ... ฉันลืมเส้นทางที่เรียบง่ายไปหมด :-( ... ตอนนี้มันควรจะได้รับการแก้ไขแล้ว

— Marzio De Biasi

การโพสต์ทางคณิตศาสตร์นี้แสดงว่าปัญหาอาจไม่สมบูรณ์ มันอาจเป็นเรื่องยาก แต่แก้ได้ในเวลาquasipolynomial math.stackexchange.com/questions/2218929//

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: คุณเห็นข้อบกพร่องในรุ่นปัจจุบันของคำตอบหรือไม่?

— Marzio De Biasi

ไม่ฉันไม่เห็นข้อบกพร่องที่ชัดเจน

— Mohammad Al-Turkistany