ขอบเขตล่างของจำนวนเส้นทาง“ สั้น” ในต้นไม้ที่ถูกรูทด้วยขนาดพหุนาม

ให้เป็นต้นไม้ไบนารีที่รูท เส้นทางจากรากของทุกเพื่อใบมีความยาวnทุกโหนดของมีโหนดซ้ายและโหนดลูกที่ถูกต้องเสมอ แต่เป็นไปได้ที่โหนดเหล่านั้นจะเหมือนกัน (ดังนั้นจึงมีเส้นทางที่เป็นไปได้เสมอ) ขนาดของเป็นที่สิ้นสุดโดย(n)) โหนดที่มีโหนดลูกที่แตกต่างกันจะเรียกว่าแตกแขนงโหนดT n T 2 n T O ( p o l y ( n ) $T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

เราบอกว่าสองพา ธ นั้นแตกต่างกันถ้ามีหนึ่งโหนดการแบรนช์ที่แบ่งใช้และหนึ่งพา ธ ไปที่โหนดย่อยซ้ายและอีกพา ธ ไปยังโหนดย่อยขวา เป็นที่ชัดเจนว่ามีเส้นทางอย่างน้อยหนึ่งในกับโหนดแตกแขนง มิฉะนั้นจะมีโหนดมากเกินไปในTO ( บันทึกn ) $T$$O(\log n)$$T$

มีขอบเขตล่างที่ดีกว่ากับจำนวนของเส้นทางที่มีการแยกโหนดถ้าฉันรู้ว่ามีแยกโหนดในต้นไม้ω ( บันทึกn $O(\log n)$$\omega(\log n)$

ขอบเขตล่างคือเส้นทางที่มีการแยกโหนดถ้าคุณมีอย่างน้อยแยกโหนดในต้นไม้O ( บันทึกn ) Ω ( บันทึกn $\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้: ใช้ต้นไม้ที่มีเส้นทางยาวหนึ่งเส้นทาง (ความยาว ) ซึ่งโหนดทั้งหมดนั้นเป็นโหนดย่อย ๆ โดยที่ไม่มีโหนดสาขาอื่น ๆ ในต้นไม้$n$

นี่คือภาพร่างของขอบเขตล่าง

ก่อนอื่นให้ทำการทรีให้เล็กลงโดยการทำสัญญาต่อโหนดภายในที่ไม่ได้เป็นโหนดการแยก หากขนาดดั้งเดิมของต้นไม้คือต้นไม้ใหม่จะต้องยังคงเป็นเนื่องจากคุณลดจำนวนโหนดเพียงอย่างเดียว ตอนนี้ความลึกของใบไม้คือจำนวนโหนดการแตกแขนงบนเส้นทางเดิมไปยังใบไม้นั้นและเรามีต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์ (ทุกโหนดมีสององศาหรือ 0) < n $< n^c$$< n^c$

หากไม่มีใบไม้ที่มีความลึกดังนั้นจำนวนเส้นทางจะมากกว่าจำนวนโหนดการแยกซึ่งเป็นดังนั้นเราจึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าอย่างน้อยหนึ่งใบไม้มี ลึกn)Ω ( บันทึกn ) Ω ( บันทึกn $\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

ถัดไปจำความไม่เท่าเทียมกันของคราฟท์ ถ้าความลึกของใบในต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์คือแล้ว1Σ v l e a f 2 - d ( v ) = $d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

ตอนนี้เรามีใบไม้น้อยกว่าเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าเรามีจำนวนมากของพวกเขาที่มีความลึกn) สมมติว่าเราขจัดออกจากการพิจารณาคนที่มีความลึกอย่างน้อยn สิ่งนี้จะเอาน้ำหนักมากที่สุดออกจากผลรวมในความไม่เสมอภาคของคราฟท์ดังนั้นสำหรับใบเหล่านั้นที่ความลึกมากที่สุดเรามี{n} นอกจากนี้เรายังมี (เนื่องจากอย่างน้อยหนึ่งใบมีความลึกใหญ่เกินไปที่จะรวมอยู่ในผลรวมนี้) O ( log n ) เข้าสู่ระบบ2 ( n ค+ 1 ) = ( C + 1 ) เข้าสู่ระบบ2 n 1 / n V d ( วี) ≤ ( C + 1 ) เข้าสู่ระบบ2 n Σ วีลิตรo W d อีพีทีh l e a f 2 - d ( $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$$d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ ∑vlowdepthleaf2-d(v)<$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

มันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงว่าเพื่อให้ได้ผลรวมของตัวเลขอย่างเคร่งครัดระหว่างถึงเราต้องการอย่างน้อยของพวกเขา สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ามีเส้นทางที่มีการแยกโหนด 1 1 - $2^{-k}$$1$ log2nΩ(logn)O(logn$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$