ความซับซ้อนขั้นต่ำพยากรณ์ที่แยก PSPACE จากลำดับชั้นพหุนามคืออะไร?

พื้นหลัง

เป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่พยากรณ์เช่นนั้นอรรถเป็นP S P A C E A ≠ P H $A$$PSPACE^A \neq PH^A$

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าการแยกนั้นสัมพันธ์กับการทำนายแบบสุ่ม อย่างไม่เป็นทางการคนหนึ่งอาจตีความได้ว่านี่หมายความว่ามีออราเคิลมากมายที่$PSPACE$และ$PH$แยกออกจากกัน

คำถาม

วิธีที่ซับซ้อนออราเคิลเหล่านี้ที่แยกต่างหาก$PSPACE$จาก$PH$ H โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีออราเคิล$A \in DTIME(2^{2^{n}})$เช่นที่ $PSPACE^A \neq PH^A$ ?

เรามี oracleที่และมีความซับซ้อนที่ทราบกันดีหรือไม่?P S P A C E A ≠ P H A$A$$PSPACE^A \neq PH^A$$A$

หมายเหตุ:การดำรงอยู่ของออราเคิลอาจมีการแตกสาขาในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงโครงสร้าง ดูการอัพเดทต่อไปนี้ด้านล่างสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

อัปเดตพร้อมรายละเอียดเกี่ยวกับเทคนิคขอบล่าง

การอ้างสิทธิ์:หากแล้วสำหรับออราเคิลทั้งหมด ,อรรถเป็น∈ P / P o L Y P S P C E = P $PSPACE = PH$$A \in P/poly$$PSPACE^A = PH^A$

หลักฐานร่าง:สมมติว่าPH$PSPACE = PH$

ให้ oracleได้รับ เราสามารถสร้างเวลาพหุนาม oracle ทัวริงเครื่องว่าสำหรับระยะเวลาที่กำหนด , เดาวงจรขนาดโดยใช้ปริมาณการดำรงอยู่และยืนยันว่าวงจรตัดสินใจโดยการเปรียบเทียบการประเมินผลของวงจรและผลการค้นหา สำหรับทุกความยาวสตริงโดยใช้การนับสากลΣ 2 M n p ( n ) A $A \in P/poly$$\Sigma_2$$M$$n$$p(n)$$A$$n$

เพิ่มเติมพิจารณาปัญหาการตัดสินใจที่ฉันอ้างถึงเป็นวงจรบูลีนเชิงปริมาณ (QBC) ที่คุณได้รับวงจรบูลีนเชิงปริมาณและต้องการทราบว่ามันถูกต้อง (คล้ายกับ QBF) ปัญหานี้เสร็จสิ้นแล้ว PSPACE เนื่องจาก QBF เสร็จสิ้นแล้ว PSPACE

โดยสมมติฐานมันตามที่ QBCPH สมมติว่าสำหรับขนาดใหญ่พอสมควร ให้แทนเวลาพหุนามทัวริงที่แก้ปัญหา QBCQ B C ∈ Σ k k N Σ $\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$$\Sigma_k$

เราสามารถผสมการคำนวณของและ (คล้ายกับสิ่งที่จะทำในการพิสูจน์ทฤษฎีบทคาร์พ-ลิปตัน) เพื่อได้รับเวลาพหุนาม เครื่อง oracle ทัวริงที่แก้อรรถเป็นN Σ k Q B C $M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

เครื่องใหม่นี้ใช้เวลาในการป้อน oracle QBC (นั่นคือ QBC ที่มี oracle gates) จากนั้นก็คำนวณวงจรที่คำนวณ ปัจจัยของความยาว (พร้อมกัน pealing ปิดทั้งสองปริมาณครั้งแรก) ถัดไปก็แทนที่ประตู oracle ใน QBC oracle กับวงจรสำหรับ ในที่สุดจะดำเนินการเพื่อใช้ส่วนที่เหลือของอัลกอริทึมพหุนามสำหรับการแก้ไขบนอินสแตนซ์ที่ถูกดัดแปลงนี้n A Σ k Q B $A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

ตอนนี้เราสามารถแสดงขอบเขตล่างที่มีเงื่อนไข

ควันหลง:ถ้ามีอยู่ oracleดังกล่าวว่าแล้วPP S P C E ≠ P H N E X P ⊈ P / P o L $A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

หลักฐานร่าง:สมมติว่ามีอยู่ดังกล่าวว่าอรรถเป็น หากแล้วเราจะได้รับความขัดแย้งP S P C E ≠ P H N E X P ⊆ P / P o L $A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าแล้วโดยการเรียกร้องดังกล่าวข้างต้นเรามีPH แต่ก็เป็นที่รู้กันว่าหมายความว่าPHP S P C E ≠ P H N E X P ⊆ P / P o L Y P S P C E = P $NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

(ดูที่นี่สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่รู้จักสำหรับ P / poly)

ผมเชื่อว่าถ้าคุณติดตามผ่านอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดเช่นในมาตรา 4.1 ของการสำรวจ Ker-I เกาะของคุณจะได้รับผูกพันบนของ ) ในความเป็นจริงเราสามารถแทนที่n 2ที่นี่ด้วยฟังก์ชั่นใด ๆn F ( n )ที่F ( n ) →การ∞เป็นn →การ ∞ นี่ไม่ใช่สิ่งที่ถูกถาม แต่ใกล้เคียง$\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$$n^2$$nf(n)$$f(n) \to \infty$$n \to \infty$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้การแปลระหว่างการแยก oracle และขอบเขตล่างของวงจรและตามสัญกรณ์ของ Ko เรามีดังต่อไปนี้:

• เราจะตัดขวางความยาวของสตริงโดยที่p n ( x ) = x n + nคือ "the" n -th พหุนามm ( n )จะถูกระบุด้านล่าง$t(n) = p_n(m(n))$$p_n(x) = x^n + n$$n$$m(n)$

• แปลเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าวงจรซึ่งหมายความว่าเรากำลังพิจารณาวงจรความลึกที่มีขอบเขตบนอินพุต$2^{t(n)}$

• ความต้องการ (ดูหน้า 15 จากเกาะ) เราต้องการเพื่อตอบสนอง$m(n)$สำหรับทุกn ที่นี่dคือความลึกของวงจรที่เราต้องการตัดเฉียงหรือเท่ากับระดับΣ p dของPH ที่เราต้องการตัดเฉียง เพื่อ diagonalize กับทั้งหมดของพีเอชเพียงแค่เลือกdจะเป็นฟังก์ชั่นของnที่เป็นω(1); เราอาจเลือก$\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$$n$$d$$\mathsf{\Sigma_d^p}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{PH}$$d$$n$$\omega(1)$$d$ที่เติบโตขึ้นโดยพลการอย่างช้า ๆ แม้ว่า (อาจขึ้นอยู่กับข้อสมมติฐานในการคำนวณบางอย่างในแต่ไม่ควรเป็นอุปสรรค) หากเราคาดเดาว่าd ( n )คงที่ (แม้ว่าจะไม่ใช่ แต่มันจะเติบโตอย่างช้าๆโดยพลการ) เราจะเห็นว่าm ( n )ประมาณ2 nควรใช้งานได้$d(n)$$d(n)$$m(n)$$2^n$

• ซึ่งหมายความว่าดังนั้นเรากำลังมองหาขอบเขตล่างกับวงจรที่มีอินพุต∼ 2 2 n $t(n) \sim 2^{n^2}$$\sim 2^{2^{n^2}}$

• Trevisan และ Xue (CCC '13) แสดงให้เห็นว่าสามารถหาที่ได้รับมอบหมายที่ให้วงจรกระโดดเชิงลึกบนปัจจัยการผลิตไม่ PARITY คำนวณกับเชื้อสายของP o L Y L o กรัม( N )ความยาว$N$$polylog(N)$

• สำหรับเราดังนั้นP o L Y L o กรัม( N ) = 2 O ( n 2 ) เราสามารถเดรัจฉานแรงเหนือเมล็ดดังกล่าวในเวลา2 2 O ( n 2 )และใช้เมล็ดแรกที่ได้ผล$N=2^{2^{n^2}}$$polylog(N) = 2^{O(n^2)}$$2^{2^{O(n^2)}}$

หากต้องการแทนที่ด้วยn f ( n )เพียงแค่ให้p n ( x ) = x f ( n ) + f ( n )แทน$n^2$$nf(n)$$p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$

ที่น่าสนใจถ้าฉันเข้าใจถูกต้องฉันเชื่อว่านี่เป็นนัยว่าถ้าใครสามารถปรับปรุง Trevisan-Xue ...

• ... กับอัลกอริธึมpseudodeterministic / Bellagio (ดูความคิดเห็นของ Andrew Morgan ด้านล่าง) เราจะได้รับ ; หรือ$\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... กับอัลกอริทึมแบบ nondeterministic ที่เดาได้ว่าบิต แต่จากนั้นก็วิ่งในเวลาp o l y ( N )เวลาและเช่นนั้นบนเส้นทางการยอมรับใด ๆ มันทำให้ผลลัพธ์เดียวกัน ( cf. N P S V ) มันจะหมายถึงN E X P ⊈ P / p o l y ; หรือ$polylog(N)$$poly(N)$$\mathsf{NPSV}$$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... เพื่อกำหนดขั้นตอนวิธีการอย่างใดอย่างหนึ่งจะได้รับ Y$\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

ในมือข้างหนึ่งนี่แสดงให้เห็นว่าทำไมการทำให้บทสรุปของบทแทรกสลับต่อไปยากขึ้นอีก - ข้อโต้แย้งที่ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นที่รู้จักมาก่อน! ในทางกลับกันสิ่งนี้ทำให้ฉันเป็นคนที่น่าสนใจในเรื่องความแข็งเมื่อเทียบกับการสุ่มตัวอย่าง (หรือนี่คือสิ่งใหม่จริง ๆ , oracle เทียบกับการสุ่ม)?