การจดจำอัตโนมัติ

ปล่อย $\Sigma$เป็นตัวอักษรที่ จำกัด รหัส $X$ เกิน $\Sigma$ เป็นส่วนย่อยของ $\Sigma^*$ เช่นนั้นแต่ละคำค่ะ $X^*$ สามารถแสดงอย่างไม่ซ้ำใครเป็นคำที่ต่อกันได้ $X$. รหัส$X$คือแน่นอนถ้า$|X|$มี จำกัด สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับ (น้อยที่สุด) การจดจำอัตโนมัติ$X^*$ สำหรับรหัส จำกัด $X$? มีลักษณะของออโตมาตะหรือไม่ (ในแง่ของโครงสร้างของออโตเมต้าโดยไม่รู้ตัว)$X$)? เป็นไปได้ไหมที่มีหุ่นยนต์ตัวนั้นดึงรหัส$X$ ในเวลาพหุนาม

ฉันสนใจคำถามเหล่านี้ด้วยเมื่อเราละเว้นความจริงที่ว่า $X$ เป็นรหัสคือสมมติว่าเท่านั้น $X$ เป็นชุดคำที่แน่นอน

เนื่องจากคำถามนี้ไม่ได้รับคำตอบเป็นเวลานานให้ฉันเสนอคำตอบบางส่วนในส่วนแรกของคำถาม:

สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับ (น้อยที่สุด) การจดจำอัตโนมัติ $X^∗$ สำหรับรหัส จำกัด $X$?

รับชุดคำ จำกัด $X$ออโตเมติกดอกไม้ของ$X^*$ เป็นหุ่นยนต์ nondeterministic อัน จำกัด $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ที่ไหน $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$, $I = F = \{(1,1)\}$ด้วยการเปลี่ยนสี่ประเภท:

$$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$$ มันง่ายที่จะเห็นว่าหุ่นยนต์นี้รับรู้ $X^*$. ตัวอย่างเช่นถ้า$A= \{a, b\}$ และ $X = \{a, ba, aab, aba\}$ออโตเมติกดอกไม้ของ $X^*$ มีดังต่อไปนี้

$\qquad\qquad\qquad$

จำได้ว่าหุ่นยนต์ไม่มีความชัดเจนถ้ากำหนดสองสถานะ$p$ และ $q$ และคำ $w$มีอย่างน้อยหนึ่งเส้นทางจาก $p$ ถึง $q$ ที่มีฉลาก $w$. จากนั้นผลลัพธ์ต่อไปนี้จะเก็บ:

ทฤษฎีบท [1, Thm 4.2.2] การตั้งค่า$X$ เป็นรหัส iff ดอกไม้อัตโนมัติของ $X^*$ ไม่คลุมเครือ

ดอกไม้อัตโนมัติยังมีคุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งทำให้ค่อนข้างใกล้กับหุ่นยนต์น้อยที่สุด คุณสมบัตินี้เก็บสำหรับชุด จำกัด ใด ๆ$X$แต่ง่ายต่อการระบุโดยกำจัดคำที่ว่างเปล่านั่นคือโดยการพิจารณาภาษาเป็นส่วนย่อยของ $A^+$ แทน $A^*$.

จำได้ว่า semigroup ที่ จำกัด $R$เป็นเรื่องเล็กน้อยในท้องถิ่นหากสำหรับ idempotent$e \in R$, $eRe = \{e\}$. มอร์ฟิซึ่มส์$\pi:R \to S$เป็นเรื่องเล็กน้อยในท้องถิ่นหากสำหรับ idempotent$e$ ใน $S$กลุ่มย่อย $\pi^{-1}(e)$ เล็กน้อยในท้องถิ่น

กลุ่มย่อยการเปลี่ยนแปลง $T$ ของดอกไม้อัตโนมัติของ $X^+$เรียกว่ากลุ่ม ดอกไม้ของ$X^+$. ตั้งแต่$T$ ตระหนักถึงความ $L^+$มีมอร์ฟิซึ่มส์ที่เด็ดเดี่ยว $\pi$ จาก $T$ เข้าสู่ semigroup ประโยค $S$ ของ $X^+$.

ทฤษฎีบท มอร์ฟิซึ่มส์$\pi:T \to S$ เล็กน้อยในท้องถิ่น

ผลลัพธ์ที่สำคัญของผลลัพธ์นี้คือกลุ่มดอกไม้และกลุ่มไวยากรณ์มีจำนวนปกติเท่ากัน $\mathcal{J}$-classes

อ้างอิง

[ 1 ] เจ Berstel, D. เพอร์รินซี Reutenauer, รหัสและออโต สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ 129 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์เคมบริดจ์ 2010 xiv + 619 pp. ไอ: 978-0-521-88831-8