โพสต์ความสอดคล้องตัวแปรปัญหา

นี่เป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย แต่ให้พิจารณาถึงปัญหาของการโพสต์จดหมายโต้ตอบมาตรฐาน:

รับและค้นหาลำดับดัชนีซึ่ง{} แน่นอนว่าไม่สามารถตัดสินใจได้$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$ฉัน1 , … , ฉันK α i 1 ⋯ α i K = β ฉัน1 ⋯ β i $\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K}$

ตอนนี้ฉันเรียกสิ่งนี้ว่า 'แตกต่าง' แต่มันไม่จริงเลย - โดยพื้นฐานแล้วมันจะทิ้ง 'การติดต่อทางจดหมาย' อย่างไรก็ตามพิจารณาตัวแปรต่อไปนี้:

รับและค้นหาดัชนีสองลำดับซึ่ง{K}} สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับตัวแปรนี้ หากนี่เป็นเรื่องเล็กน้อยฉันขอโทษ!β 1 , … , β N ฉัน1 , … , ฉันK , j 1 , … , j K α i 1 ⋯ α i K = β j 1 ⋯ β j $\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K, j_1, \ldots, j_{K}$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1}\cdots \beta_{j_{K}}$

เวอร์ชันใหม่นี้ - โดยที่ - สามารถถอดรหัสได้$K = K'$

มาแสดงให้เห็นว่าภาษาเป็น CFL จากนั้น decidability ต่อจากความสามารถในการ decidability ของ CFL$L := \bigcup_{k \geq 1} (A^k \ \cap \ B^k)$

เราจะออกแบบ PDA จะยอมรับLกับการป้อนข้อมูล , PDA นี้จะพยายามที่จะสร้างสอง factorizations ของหนึ่งโดยใช้คำพูดของและอื่น ๆ โดยใช้คำพูดของBมันจะใช้ตัวนับบนสแต็กเพื่อให้แน่ใจว่าปัจจัยสองอย่างนี้มีความยาวเท่ากัน แนวคิดผมจะดูที่-factorization ของไกลที่สุดเท่าที่จะนั่งอยู่บนด้านบนของและ -factorization นั่งที่ด้านล่างของxจากนั้นสแต็กจะมีตัวนับถ้าค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างของจำนวนคำที่จับคู่อยู่ด้านบนลบด้วยจำนวนคำที่อยู่ด้านล่างคือx x A B A x x B x n n n A $L$$x$$x$$A$$B$$A$$x$$x$$B$$x$$n$$n$ . เราต้องการอีกสถานะหนึ่งของ PDA เพื่อบันทึกสิ่งที่เครื่องหมายที่เหมาะสมสอดคล้องกับ (ซึ่งบอกเราว่า -factorization ยาวกว่า -factorization หรือในทางกลับกัน)$n$$A$$B$

ในขณะที่เราสแกนตัวอักษรของเราจะเดาคำศัพท์ของและคำว่าของที่ตัวอักษรนี้เริ่มต้น เมื่อเราเดาเรามุ่งมั่นที่จะจับคู่ส่วนที่เหลือของและกับ ; หาก ณ จุดใดการแข่งขันของเราล้มเหลวเราจะหยุดในตัวเลือกที่ไม่ระบุชื่อนี้ ดังนั้นเรายังคงในส่วนของ PDA ของเราคำต่อท้ายของและที่ยังคงตรงกันt A u B t u x t $x$$t$$A$$u$$B$$t$$u$$x$$t$$u$

ในขณะที่เราสแกนตัวอักษรเพิ่มเติมเราจะทำการจับคู่ต่อไปจนกว่าจะถึงจุดสิ้นสุดของหรือสิ้นสุด (หรือทั้งคู่) เมื่อเรากดจุดสิ้นสุดของคำเราจะอัปเดตสแต็คอย่างเหมาะสมแล้วเดาคำใหม่เพื่อให้ตรงกับด้านบนหรือด้านล่าง (หรือทั้งสอง)$t$$u$

เรายอมรับว่าส่วนต่อท้ายที่เหลือเพื่อจับคู่นั้นว่างเปล่าทั้งด้านบนและด้านล่างและสแต็กไม่มีตัวนับ

เราสามารถสร้าง PDA นี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพดังนั้นเราจึงสามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าจะยอมรับสิ่งใดหรือไม่ (ตัวอย่างเช่นโดยการแปลงเป็นไวยากรณ์อย่างมีประสิทธิภาพแล้วใช้วิธีการปกติเพื่อดูว่า G สร้างอะไร)$G$

แก้ไข: เราสามารถเปลี่ยนสิ่งนี้ให้กลายเป็นขอบเขตบนที่สามารถใหญ่ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด ฉันคิดว่ามันควรจะให้ผูกพันบนของบางสิ่งบางอย่างเช่นประมาณที่เป็นผลรวมของความยาวของคำในและB2 O ( l 2 ) l A $k$$2^{O(l^2)}$$l$$A$$B$

แก้ไข: ฉันเห็นแล้วว่าข้อกำหนดที่และเป็นชุด จำกัด สามารถผ่อนคลายได้ตามข้อกำหนดที่และเป็นปกติ (อาจไม่มีที่สิ้นสุด) ในกรณีนี้แทนที่จะรักษาส่วนต่อท้ายที่เหลือให้จับคู่ใน "top" และ "bottom" แทนเราจะรักษาสถานะของ DFA ที่เกี่ยวข้องที่เราอยู่หลังจากประมวลผลคำนำหน้าของคำที่ตรงกันที่เป็นไปได้ หากเราเข้าสู่สถานะสุดท้ายใน "top" หรือ "bottom" เราสามารถเลือกที่จะกลับไปที่สถานะเริ่มต้นสำหรับคำที่เดาใหม่ B A $A$$B$$A$$B$

แก้ไข: วิธีนี้จะแก้ปัญหารุ่นก่อนหน้านี้ซึ่งเราต้องตัดสินใจว่ามีความเท่าเทียมกันของรูปแบบ . รุ่นใหม่มีK' K = K $\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$K = K'$

ภาษาสร้างโดยสตริงทั้งหมดของฟอร์มเป็นเรื่องปกติ ภาษาสร้างขึ้นโดยสตริงทั้งหมดของฟอร์มเป็นเรื่องปกติ คุณกำลังถามว่าว่างเปล่า เนื่องจากเป็นปกติจึงสามารถตัดสินใจได้ (ในความเป็นจริงในเวลาส่วนใหญ่ชี้แจง)α i 1 ⋯ α i K B β j 1 ⋯ β j K ′ A ∩ B A , $A$$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K}$$B$$\beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$A \cap B$$A,B$