เมทริกซ์สมดุลที่ชัดเจน

มันเป็นไปได้ที่จะสร้างอย่างชัดเจน0 / 1 -matrix กับN 1.5คนดังที่ทุกN 0.499 × N 0.499 submatrix มีน้อยกว่าN 0.501คน?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

หรืออาจเป็นไปได้ที่จะสร้างชุดการกดปุ่มที่ชัดเจนสำหรับคุณสมบัติดังกล่าว

มันง่ายที่จะเห็นว่าเมทริกซ์แบบสุ่มมีคุณสมบัตินี้โดยมีความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับอย่างมาก นอกจากนี้ตัวแทรกผสมการแทรกไม่เพียงพอที่จะได้มาซึ่งคุณสมบัตินี้$1$

ฉันเดาว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกที่หลอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบ combinatorial สามารถช่วยได้ที่นี่ แต่พวกมันถูกออกแบบมาสำหรับการกระจายแบบสม่ำเสมอและโดยทั่วไปฉันต้องการที่นี่$B(N^2, N^{-0.5})$

สิ่งที่คุณกำลังมองหาคือตัวดึงข้อมูลหนึ่งบิตสำหรับสองแหล่งข้อมูลอิสระ: ฟังก์ชั่นเช่นนั้นที่ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มด้วย min-entropy 0.499 * log (N), E (X, Y) เกือบจะสมดุล$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

มันเป็นปัญหาที่ยากมาก สำหรับพารามิเตอร์ที่คุณต้องการฉันเชื่อว่ามันถูกแก้ไขโดย Bourgain ดูที่นี่: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

คำตอบนี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดของ Dana ในคำตอบของเธอด้านบน

$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson ตัวนำแบบแผนและการขยายระดับคงที่เกินระดับอุปสรรค / 2

$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$$O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ คน

$2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

$f$