การใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ในการวิจัยทฤษฎีความซับซ้อน?

พิจารณาหัวข้อที่กล่าวถึงในการประชุมอย่าง STOC มีอัลกอริทึมหรือความซับซ้อนของนักวิจัยที่ใช้ COQ หรือ Isabelle หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นพวกเขาใช้มันอย่างไรในการวิจัย? ฉันคิดว่าคนส่วนใหญ่จะไม่ใช้เครื่องมือเช่นนี้เพราะหลักฐานจะอยู่ในระดับต่ำเกินไป มีใครใช้ผู้ช่วยพิสูจน์เหล่านี้ในลักษณะที่มีความสำคัญต่อการวิจัยของพวกเขาหรือไม่เมื่อเทียบกับอาหารเสริมที่ดี?

ฉันสนใจเพราะฉันอาจเริ่มเรียนรู้หนึ่งในเครื่องมือเหล่านั้นและมันจะสนุกที่ได้เรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาในบริบทของการพิสูจน์การลดความถูกต้องหรือเวลาทำงาน

กฎทั่วไปของหัวแม่มือคือยิ่งคณิตศาสตร์ / แปลกใหม่มากขึ้นคุณต้องการที่จะใช้เครื่องจักรกลที่ได้รับง่ายขึ้น ในทางตรงกันข้ามยิ่งเป็นรูปธรรมมากขึ้น / คณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยคือยิ่งมันจะยาก ดังนั้น (ตัวอย่าง) สัตว์ที่หายากเช่นทอพอโลยีแบบไร้จุดแบบใช้งานได้ง่ายกว่าการใช้เครื่องจักรกลมากกว่าการทอพอโลยีแบบธรรมดาทั่วไป

สิ่งนี้อาจดูน่าแปลกใจในตอนแรก แต่โดยพื้นฐานแล้วเนื่องจากวัตถุที่เป็นรูปธรรมเช่นจำนวนจริงมีส่วนร่วมในโครงสร้างพีชคณิตที่หลากหลายและการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับพวกเขาสามารถใช้ประโยชน์จากทรัพย์สินใด ๆ จากมุมมองของพวกเขา ดังนั้นเพื่อให้สามารถใช้เหตุผลสามัญที่นักคณิตศาสตร์คุ้นเคยคุณต้องทำให้สิ่งเหล่านี้เป็นกลไกทั้งหมด ในทางตรงกันข้ามสิ่งก่อสร้างที่เป็นนามธรรมสูงมีชุดของคุณสมบัติที่มีขนาดเล็กและ จำกัด (โดยเจตนา) ดังนั้นคุณจะต้องใช้กลไกน้อยกว่าก่อนที่คุณจะไปถึงบิตที่ดี

การพิสูจน์ในทฤษฎีความซับซ้อนและอัลกอริธึม / โครงสร้างข้อมูลมีแนวโน้มที่จะใช้คุณสมบัติที่ซับซ้อนของอุปกรณ์อย่างง่ายเช่นตัวเลขต้นไม้หรือรายการ เช่น combinatorial ความน่าจะเป็นและข้อโต้แย้งเชิงทฤษฎีจำนวนปรากฏขึ้นเป็นประจำในเวลาเดียวกันในทฤษฎีบทในทฤษฎีความซับซ้อน การได้รับการพิสูจน์จากห้องสมุดผู้ช่วยสนับสนุนจนถึงจุดที่การทำเรื่องนี้ดีเป็นงานที่ค่อนข้างเยอะ!

บริบทหนึ่งที่ผู้คนเต็มใจที่จะใส่ในงานนั้นอยู่ในอัลกอริธึมการเข้ารหัส มีข้อ จำกัด ของอัลกอริทึมที่ลึกซึ้งมากขึ้นสำหรับเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและเนื่องจากรหัส crypto ทำงานในสภาพแวดล้อมที่เป็นปฏิปักษ์แม้กระทั่งข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อยก็สามารถเกิดความหายนะได้ ตัวอย่างเช่นโครงการ Certicrypt ได้สร้างโครงสร้างพื้นฐานการตรวจสอบจำนวนมากเพื่อวัตถุประสงค์ในการสร้างเครื่องพิสูจน์ที่ตรวจสอบความถูกต้องของอัลกอริทึมการเข้ารหัสลับ

ตัวอย่างที่โดดเด่นมากอย่างหนึ่งคือแน่นอน Gonthiers Coq formalization ของทฤษฎีบท 4 สีใน Coq ซึ่งใช้ combinatorics จำนวนมาก

เพื่อนร่วมงานของฉัน Uli Schöppใช้ห้องสมุด ssreflect ที่พัฒนาโดย Gonthier เพื่อจุดประสงค์นี้เพื่อตรวจสอบ (และขยายเพิ่มอีกเล็กน้อย) ใน Coq ผลลัพธ์โดย Cook และ Rackoff บนกราฟออโตมาตา https://scholar.google.at/scholar?oi=bibs&cluster=4944920843669159892&btnI=1&hl=de (Schöpp, U. (2008). ขอบเขตล่างของการเข้าถึงกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง pp. 621-635). Springer Berlin / Heidelberg)