เกม 2P1R ใดที่มีความคมชัดที่อาจเกิดขึ้น

เกมสองรอบสุภาษิตหนึ่งรอบ (2P1R) เป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความแข็งของการประมาณ โดยเฉพาะการทำซ้ำเกมคู่รอบสองสุภาษิตแบบคู่ขนานทำให้วิธีการเพิ่มขนาดของช่องว่างในเวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหาการประมาณ ดูการพูดคุยสำรวจของ Ran Raz ที่ CCC 2010สำหรับภาพรวมของเรื่อง

การทำซ้ำแบบขนานของเกมมีคุณสมบัติที่น่าอัศจรรย์ที่ในขณะที่ตัวตรวจสอบแบบสุ่มทำงานโดยอิสระผู้เล่นสองคนสามารถเล่นเกมในลักษณะที่ไม่เป็นอิสระเพื่อให้บรรลุความสำเร็จที่ดีกว่าการเล่นแต่ละเกมอย่างอิสระ จำนวนของความสำเร็จนั้น จำกัด อยู่เหนือทฤษฎีบทการทำซ้ำขนานของ Raz:

ทฤษฎีบท : มีค่าคงที่สากลดังนั้นสำหรับเกม 2P1R ทุกมีค่าและขนาดคำตอบ , ค่าของเกมที่ซ้ำซ้อนแบบขนานเป็นค่าที่มากที่สุดs)}$c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

นี่คือร่างในการทำงานของการระบุนี้คง :$c$

• กระดาษเดิม Raz พิสูจน์32$c \leq 32$
• Holensteinปรับปรุงนี้เพื่อ3$c \leq 3$
• Raoแสดงให้เห็นว่าพอเพียง (และการพึ่งพาถูกลบ) สำหรับกรณีพิเศษของเกมฉายภาพ$c' \leq 2$$s$
• Razให้กลยุทธ์สำหรับเกมคี่วงจรที่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ของ Rao นั้นคมชัดสำหรับเกมฉายภาพ

โดยการทำงานของร่างกายนี้เรารู้3 คำถามสองข้อของฉันมีดังนี้:$2 \leq c\leq 3$

คำถามที่ 1:ผู้เชี่ยวชาญในพื้นที่นี้มีฉันทามติสำหรับค่าที่แน่นอนของหรือไม่?$c$

หากคิดว่าจะมีเกมเฉพาะที่ไม่ฉายภาพ แต่ยังละเมิดคุณสมบัติพิเศษของเกมฉายที่ต้องใช้การพิสูจน์ของ Rao$c > 2$

คำถามที่ 2:ถ้าเกมที่น่าสนใจใดที่ละเมิดกลยุทธ์ของ Rao และมีศักยภาพที่จะเป็นตัวอย่างที่คมชัด$c > 2$

จากการอ่านของฉันดูเหมือนว่าคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเกมฉายที่ Rao ใช้คือกลยุทธ์ที่ดีสำหรับการทำซ้ำแบบขนานจะไม่ใช้คำตอบที่เป็นไปได้สำหรับคำถามบางอย่าง เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับท้องถิ่นของเกมฉาย

ฉันมักจะเชื่อว่า c = 3 เป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับกรณีทั่วไปและเป็นไปได้ที่จะยกตัวอย่าง ฉันจะต้องคิดให้มากขึ้นเพื่อที่จะรู้แน่นอน เป็นคำถามที่ดีและฉันไม่รู้งานที่มีอยู่เกี่ยวกับเรื่องนี้

งานวิจัยเมื่อเร็ว ๆ นี้มุ่งเน้นไปที่เกมประเภทใดที่มี (ดีที่สุด) c = 1 ส่วนใหญ่เป็นเพราะแอพพลิเคชั่นที่เป็นไปได้ในการขยายเกมที่ไม่เหมือนใคร

• Barak และอีกตัวอย่างทั่วไปของ Raz กับเกมที่ไม่ซ้ำทั้งหมดที่มีช่องว่าง SDP
• Raz และ Rosen พบว่าสำหรับการขยายเกมฉายภาพ c = 1 นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ก่อนหน้านี้โดยผู้เขียนชุดสุดยอดสำหรับเกมฟรี

เพื่อให้ได้สิ่งต่าง ๆ ฉันมีเกมที่มีศักยภาพและต้องการข้อเสนอแนะ

ให้เป็นจำนวนเต็มและเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อยกับ1}} เกมcycle-powerเป็นเกม 2P1R ที่ผู้ทดสอบพยายามโน้มน้าวผู้ตรวจสอบว่ากราฟเป็น colorable นี่เป็นกราฟที่มีจุดที่ได้รับจากจำนวนเต็มโมดูโลมีขอบถ้า mod-เป็นระยะทางที่มากที่สุดkหากมีสีของจะต้องได้รับโดยการเลือกลำดับของและระบายสีตัวเลขm 3 k + $k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$$\{0,\dots,m-1\}$ตามลำดับนี้เนื่องจากชุดเลขจำนวนเต็มตามลำดับแต่ละชุดในก่อให้เกิดกลุ่ม เนื่องจากไม่ใช่ผลคูณของจะมีบางจุดที่การระบายสีนี้ล้มเหลว$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

เครื่องตรวจสอบจะถามจุดสุดยอดเดียวจากผู้เล่นทั้งสองเพื่อตรวจสอบว่าสีตรงกันหรือขอขอบเพื่อตรวจสอบว่าสีแตกต่างกัน

ฉันเชื่อว่านี่เป็นตัวอย่างที่ดีด้วยเหตุผลสองประการ:

1. มันคล้ายกับเกมคี่วงจรที่สามารถสร้างกลยุทธ์คล้ายกับขอบเขตล่างของ Raz ส่วนสำคัญของกลยุทธ์นี้คือการสุ่มเลือกสีในการทำซ้ำโดยใช้การสุ่มร่วมกัน

2. ด้วยการสุ่มเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้ในการระบายสีที่สร้างแบบสุ่มจำนวนคำตอบที่ได้รับในแต่ละจุดสุดยอดจะครอบคลุมคำตอบทั้งหมดที่ตั้งไว้ในรูปแบบที่เหมือนกันและโจมตีกลยุทธ์ของ Rao

เกมนี้ได้รับการพิจารณา / แก้ไขแล้วหรือยัง?