เปรียบเทียบผลิตภัณฑ์สองรายการจากจำนวนเต็มหรือไม่

สมมติว่าฉันมีสองรายการของจำนวนเต็มบวกของความเป็นลูกโซ่ที่มีขอบเขตและฉันนำผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบทั้งหมดของแต่ละรายการ วิธีที่ดีที่สุดในการพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์ใดมีขนาดใหญ่กว่า

แน่นอนฉันสามารถคำนวณแต่ละผลิตภัณฑ์ได้ แต่ฉันหวังว่าจะมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเนื่องจากจำนวนตัวเลขในผลิตภัณฑ์จะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามจำนวนคำศัพท์เพื่อให้การคำนวณทั้งหมดเป็นกำลังสอง

ถ้าฉันเพิ่มแทนที่จะเป็นแบบทวีคูณฉันสามารถใช้ "กลยุทธ์การ zippering" ของการเพิ่มรายการจากรายการแรกและลบออกจากรายการที่สองโดยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการคำนวณผลรวมโดยรวม (ใหญ่) เทคนิคแบบอะนาล็อกสำหรับผลิตภัณฑ์จะรวมลอการิทึมของรายการ แต่ปัญหาในขณะนี้คือการคำนวณล็อกต้องใช้เลขคณิตที่ไม่แน่นอน หากไม่มีวิธีในการพิสูจน์ว่าข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขนั้นไม่เกี่ยวข้องหรือไม่

time-complexity nt.number-theory

— user168715
แหล่งที่มา

ถ้าเรารู้ค่าจำนวนเต็มสูงสุดและเป็นอิสระจาก n (เช่นค่าคงที่ k) จากนั้นเราสามารถสร้างตารางการค้นหาปัจจัยของตัวเลขทั้งหมดจาก 1 ถึง k ตอนนี้ฉันคิดว่าถ้าคุณเขียนทุกอย่างในเบส [ผลคูณของปัจจัย] มันจะกลายเป็นเชิงเส้นเพราะคุณสามารถคำนวณผลิตภัณฑ์ในเวลาเชิงเส้นกับฐานนั้นจากนั้นเปรียบเทียบแต่ละหลัก (เริ่มต้นด้วยลำดับที่สูงที่สุด) รายละเอียดมีความยุ่งยากเล็กน้อย แต่ฉันคิดว่ามันน่าจะใช้ได้ถ้า k คงที่

— Phylliida

ฉันอยากบอกว่าเทคนิคแบบอะนาล็อกสำหรับผลิตภัณฑ์คือการรักษาจำนวนตรรกยะให้เท่ากับองค์ประกอบแรกของรายการแรกหารด้วยองค์ประกอบแรกขององค์ประกอบที่สอง (บวกกับการจัดการ

s) แต่นั่นไม่เป็นประโยชน์จริง ๆ เพราะถ้าจำนวนทั้งหมดเป็น coprime มันจะคำนวณทั้งสองผลิตภัณฑ์ | นอกจากนี้ฉันไม่แน่ใจว่าอัลกอริทึมไร้เดียงสานั้นเป็นกำลังสอง คอมพิวเตอร์ผลิตภัณฑ์ของ

จำนวนเต็มขนาด

อาจใช้เวลาถึง

0

$0$

n

$n$

m

$m$

โดยที่

คือค่าใช้จ่ายของการคูณจำนวนเต็ม

-bits ด้วยจำนวนเต็ม

-bits เว้นแต่คุณจะพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์ยังอยู่ในรูปแบบ

C (m, m) + C (m, 2 m) + . . . + C (m, (n - 1) m)

$C(m,m)+C(m,2m)+...+C(m,(n-1)m)$

C (x, y)

$C(x,y)$

x

$x$

y

$y$

— xavierm02

อาจมีวิธีที่จะขยายวิธีการในmath.stackexchange.com/a/1081989/10385

— xavierm02

การปรับปรุงวิธีการไร้เดียงสา: นับจำนวนการเกิดขึ้นของแต่ละปัจจัย (ในเวลาเชิงเส้น) และคำนวณเฉพาะผลิตภัณฑ์ในตอนท้ายโดยใช้อัลกอริทึมการเปิดเครื่องที่มีประสิทธิภาพ ใช้งานได้ในเวลา

ซึ่งก็คือ

O (M (n))

$O(M(n))$

โดยใช้ปัจจุบัน asymptotically วิธีที่เร็วที่สุด

O (n \log n 2^{O (\log^{*} n)})

$O(n\,\log n\,2^{O(\log^*n)})$

— Emil Jeřábek

ฉันจะคิดถึงความแม่นยำที่จำเป็นสำหรับบันทึก มันอาจมีประสิทธิภาพมากกว่า

— Emil Jeřábek

(ฉันเข้าใจคำอธิบายของปัญหาเพื่อให้หมายเลขอินพุตถูกล้อมรอบด้วยค่าคงที่ดังนั้นฉันจะไม่ติดตามการพึ่งพาขอบเขต)

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นและพื้นที่ลอการิทึมโดยใช้ผลรวมของลอการิทึม รายละเอียดเพิ่มเติมอัลกอริทึมเป็นดังนี้:

ใช้ตัวนับไบนารีนับจำนวนการเกิดขึ้นของแต่ละหมายเลขที่เป็นไปได้ในทั้งสองรายการ

สิ่งนี้ต้องใช้เวลาและตัวนับใช้พื้นที่เนื่องจากแต่ละตัวนับถูกล้อมรอบด้วยค่า $O(n)$ $O(\log n)$ $n$

ให้เป็นจำนวนเฉพาะด้านล่างที่ถูกผูกไว้ โดยการกระจายตัวนับแต่ละตัวสำหรับตัวเลขถึงปัจจัยหลักของ (ด้วยความเหมาะสมหลายหลาก) และการลบจำนวนสำหรับหนึ่งรายการจากรายการอื่นเราได้รับสิ่งต่อไปนี้ในเวลา : $p_1,\dots,p_k$ $O(1)$ $a$ $a$ $O(\log n)$

จำนวนเต็ม Compute กับบิตดังกล่าวว่าปัญหาที่เกิดขึ้นจะเทียบเท่ากับการกำหนดสัญลักษณ์ของฉัน $\beta_1,\dots,\beta_k$ $O(\log n)$ $\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

หากให้ตอบว่าผลิตภัณฑ์เท่ากัน $\beta_1=\dots=\beta_k=0$

มิฉะนั้น 0โดยทฤษฎีบทของเบเกอร์เราสามารถลดความผูกพัน สำหรับบางอย่างคงที่Cดังนั้นต่อไปนี้อย่างถูกต้องคำนวณสัญลักษณ์ของ : $\Lambda\ne0$

| Λ | > 2^{- ค เข้าสู่ระบบ n}

$|\Lambda|>2^{-C\log n}$

C

$C$

Λ

$\Lambda$

เอาท์พุทเครื่องหมายของโดยที่เป็นการประมาณของถึงบิตของความแม่นยำ $\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$ $\pi_i$ $\log p_i$ $m:=C\log n+k+1$

ให้เป็นค่าใช้จ่ายของการคูณจำนวนเต็มสอง -bit ขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันคือ $M(m)$ $m$ แต่ที่นี่มันจะไม่สร้างความแตกต่างมากแม้ว่าเราจะใช้อัลกอริทึมการคูณเล็กน้อย เราสามารถคำนวณจะบิตของความถูกต้องในเวลาใช้ซ้ำประชุมผู้ถือหุ้น (ดูเช่นที่นี่) แล้วประเมินต้องใช้เวลา $M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$ $O(m^2)$ $\log p_i$ $m$ $O(M(m)\log m)$ $\sum_i\beta_i\pi_i$ . โดยรวมแล้วขั้นตอนที่ 4 ต้องใช้เวลา $O(M(m))$ ) $O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

ดังนั้นเวลาทำงานของอัลกอริทึมจะถูกควบคุมโดยของขั้นตอนแรก $O(n)$

— Emil Jeřábek
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันจะต้องทำงานผ่านรายละเอียดในภายหลัง แต่ดูเหมือนว่าจะมีแนวโน้มมาก!

— user168715