การแลกเปลี่ยนความซับซ้อนของวงจรสำหรับ DLogTime และ NLogTime

และ N L o g T i m eเป็นคลาสซับซ้อนที่เล็กที่สุดที่เรามี (โปรดทราบว่าลำดับชั้นของลอการิทึมเวลา L Hเท่ากับ A C 0และนี่คือสองระดับแรกของ L H )$\mathsf{DLogTime}$$\mathsf{NLogTime}$$\mathsf{LH}$$\mathsf{AC}^0$$\mathsf{LH}$

หลังจากอ่านคำถามผมกลายเป็นที่สนใจเพื่อดูว่าการแยกระหว่างทั้งสองชั้นเป็นที่รู้จักกันและในความเป็นจริงมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกพวกเขาตั้งแต่ . (ขอบคุณโรบิน Kothari ดูยังเป็นที่รู้จักกัน$OR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime}$) ตอนนี้ฉันสนใจที่จะทราบลักษณะของวงจรที่ซับซ้อน ฉันค้นหาเล็กน้อยแล้วถามคนสองสามคน แต่ไม่สามารถหาคำตอบได้

เรามีลักษณะเฉพาะวงจรซับซ้อนที่ดีสำหรับการเรียนซับซ้อนและN L o กรัมT ฉันm E ?$\mathsf{DLogTime}$$\mathsf{NLogTime}$

หมายเหตุ: แสดงขึ้นมากในการกำหนดความสม่ำเสมอสำหรับการเรียนซับซ้อนขนาดเล็ก โปรดทราบว่าขอบเขตเวลาขนาดเล็กไม่อนุญาตให้เครื่องเหล่านี้อ่านอินพุตทั้งหมดพวกเขาสามารถอ่านlg nบิตจากอินพุตเท่านั้นและคลาสจะถูกกำหนดโดยใช้เครื่องที่สามารถเขียนที่อยู่ของบิตแล้วอ่านบิตนั้นโดยตรง ( เช่นไม่จำเป็นต้องข้ามบิตก่อนหน้าทั้งหมดเพื่อไปถึงที่นั่น)$\mathsf{DLogTime}$$\lg n$

ฉันคิดว่ามันน่าสนใจยิ่งกว่านั้นคลาสความซับซ้อนของวงจรที่ใช้โดยทฤษฎีความซับซ้อนของ CS ทำให้การคาดการณ์ที่แตกต่างกันและใช้ตัวชี้วัดที่แตกต่างจากที่อยู่ในชุมชน VLSI จากความซับซ้อนของ VLSI ของฟังก์ชันบูลีน :

เป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันบูลีนทั้งหมดของตัวแปรสามารถคำนวณได้โดยวงจรตรรกะที่มีO ( 2 n / n )ประตู (ทฤษฎีบทของ Lupanov) และมีฟังก์ชันบูลีนของตัวแปร n ซึ่งต้องใช้วงจรตรรกะขนาดนี้ (แชนนอน ทฤษฎีบท). เรานำเสนอผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชั่นบูลีนที่คำนวณโดยวงจร VLSI โดยใช้โมเดลของทอมป์สันของชิป VLSI เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันบูลีนทั้งหมดของตัวแปรnสามารถคำนวณได้โดยวงจร VLSI ของพื้นที่O ( 2 n )และช่วงเวลา 1 และเราพิสูจน์ว่ามีฟังก์ชันบูลีนของ$n$$O(2^n/n)$$n$$O(2^n)$$n$ตัวแปรที่ทุก (นูน) ชิป VLSI ต้องมีพื้นที่$\Omega(2^n)$

ที่น่าสนใจความซับซ้อนของวงจร VLSI นั้นมีแนวโน้มที่จะรักษาความลึกว่า "ไม่เกี่ยวข้อง" เนื่องจากมี "ความลึก" เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่สำคัญ: เส้นทางวิกฤต เพื่อวัตถุประสงค์ในการปฏิบัติมากที่สุดวงจรที่ซับซ้อนพลสามารถจะถือว่าเป็นมีความล่าช้าของn$O(1)$$n$

ในความเป็นจริงฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าแนวคิดของ / N L o g T i m eแปลโดยตรงในความซับซ้อนของวงจร VLSI แม้แต่ Shannons 2 n / nผลลัพธ์ไม่สามารถแปลได้อย่างง่ายดาย: ผลลัพธ์ของ Shannons นั้นใช้ได้เฉพาะกับบูลีนที่ประกอบด้วย arity ≤ 2 {AND, OR, NOT} นี่ไม่ใช่พื้นฐานเพียงอย่างเดียวและจำนวนของ "ประตู" จำเป็นต้องลดลงอย่างมากเมื่อคุณอนุญาตประเภทประตูมากขึ้น ต่อไปนี้เป็นR e $DLogTime$$NLogTime$$2^n/n$$\le2$$area^2$ จากไลบรารีเซลล์มาตรฐาน VLSI เชิงพาณิชย์ปรับขนาดเป็นขนาดของประตู NAND 2 อินพุต:

        2 3 4 <- Arity
และ 1.14 1.28 1.41
nand 1.00 1.14 1.28
หรือ 1.14 1.41 1.41
หรือ 1.00 1.14 1.41
xor 1.62 2.44
xnor 1.62 2.44

buf 1.14
0.80 บาท

aoi22 1.28
aoi222 1.62
aoi33 1.62
oai22 1.41
oai222 1.72
oai33 1.62

addf 2.64

โดยเฉพาะให้สังเกตaoi/ oaigates ซึ่งเป็นAnd Or Invert/ Or And Invertประกอบด้วยฟังก์ชันขนาดแรกของarity ที่ให้อาหารฟังก์ชันที่สองซึ่งจำนวนของประตูหน้าที่แรกเท่ากับจำนวนครั้งที่arityปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่นaoi22หมายถึง "สองอินพุต 2 และประตูให้อาหารเป็นประตู NOR"

จุดของฉันคือ: ถ่ายแยกจากกันoai222ฟังก์ชั่นสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ 2 หรือสามประตูและประตู NAND 3 อินพุทสำหรับพื้นที่รวมของ ~ 4.56 ไม่รวมพื้นที่ใด ๆ ที่ใช้สำหรับการเชื่อมต่อระหว่างกัน แต่ดั้งเดิมนี้สามารถรับรู้ได้ในพื้นที่เพียง 1.72 ซึ่งหมายถึงการรวมตัวกันของฟังก์ชั่นบูลีนเดียวกันกินพื้นที่ 2.65 เท่า

$n$$n\ge2$$n$

คุณสมบัติการแพร่กระจายของสิ่งมีชีวิตดั้งเดิมที่ซับซ้อนยิ่งกว่าสิ่งที่จะทำได้โดยใช้ประตูที่ไม่ต่อเนื่อง

$\mathcal{P}$$\mathcal{NP}$

$\mathcal{P} \ne \mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$2^n/n$$\mathcal{NP}$.

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\mathcal{NP}$$\{0,1\}^n$$2^n/n$$n$$n$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$2^n/n$

ในความซับซ้อนของการใช้งาน VLSI และการแทนกราฟของฟังก์ชันบูลีนที่มีการประยุกต์การคูณจำนวนเต็มแสดงให้เห็นว่าการทำนายความซับซ้อนของวงจรโดยใช้โมเดล OBDD ประเมินความซับซ้อนของวงจรจริงมากเกินไป:

$AT^2 = \Omega (n^2)$$\Omega(c^n)$$c<1$$AT^2 = O(n^{1+c})$

$n$$2n-1$$i-1$$2n-i-1$$1\le i\le n$$AT^2 = \Omega(i^2)$$\Omega(1.09^i)$