จำนวนอดิศัยใด ๆ ที่คำนวณได้ในเวลา P แต่ไม่ใช่

มีผู้ใดรู้จำนวนอดิศัยยอดนิยมเช่นนั้น $n$ตัวเลขหลักที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่ได้อยู่ใน $O(n)$?

นี่คือการก่อสร้างจำนวนดังกล่าว คุณสามารถโต้แย้งได้ว่านี่หมายความว่าจำนวนดังกล่าวเป็น "รู้จัก" หรือไม่

ใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ $f$ จาก $\mathbb{N}$ ถึง $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ ที่ไหน $n$ตัวเลขที่สองไม่สามารถคำนวณได้ $O(n)$เวลา. ฟังก์ชั่นดังกล่าวมีอยู่ตัวอย่างเช่นโดยเทคนิคการทแยงมุมตามปกติ ตีความ$f(n)$ เช่นเดียวกับ $n$ตัวเลขทศนิยมที่สิบของจำนวนจริงบางส่วน $\alpha$. ตอนนี้สำหรับแต่ละคน$n$ ของแบบฟอร์ม $2^{2^k}$, $k \geq 1$เปลี่ยนตัวเลขของ $\alpha$ ในตำแหน่ง $n, n+1, \ldots, 3n$ ถึง $0$'s จำนวนผลลัพธ์$\beta$ เห็นได้ชัดว่ายังคงรักษาทรัพย์สินที่ $n$ตัวเลขที่สองไม่สามารถคำนวณได้ $O(n)$ เวลา แต่มีการประมาณค่าที่ดีมากอย่างไม่สิ้นสุดโดยการปันส่วน $O(q^{-3})$ของแบบฟอร์ม $p/q$. จากนั้นตามทฤษฎีบทของ Roth$\beta$ไม่สามารถเป็นพีชคณิตได้ (มันไม่สมเหตุสมผลเพราะมันมีบล็อกยาว ๆ โดยพลการ$0$ตั้งค่าโดยไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองด้าน)

โดยทั่วไปสำหรับค่าคงที่ใด ๆ $k\ge1$มีตัวเลขยอดเยี่ยมที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่ใช่ในเวลา $O(n^k)$.

อันดับแรกตามทฤษฎีลำดับชั้นของเวลามีภาษาอยู่ $L_0\in\mathrm E$ ไม่สามารถคำนวณได้ในเวลา $O(2^{kn})$. เราอาจสันนิษฐานได้$L\subseteq\{0,1\}^*$และเราอาจสันนิษฐานว่าสตริงทั้งหมด $w\in L$ มีความยาวหารด้วย $3$.

ประการที่สองให้ $L_1$ เป็นรุ่นที่ไม่น่าสนใจของ $L_0$. เพื่อความชัดเจนสำหรับใด ๆ$w\in\{0,1\}^*$, ปล่อย $N(w)$ แสดงว่าเป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวแทนไบนารี $1w$และใส่ $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$. แล้วก็$L_1\in\mathrm P$แต่ $L_1$ ไม่สามารถคำนวณได้ในเวลา $O(n^k)$. ยิ่งไปกว่านั้น$L_1$ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับใด ๆ $m$, $L_1$ ไม่มีส่วนผสมใด ๆ $a^n$ ดังนั้น $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$.

ประการที่สามให้

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (ฉันสมมุติว่านี่คือคำถามเกี่ยวกับการคำนวณตัวเลขในเลขฐานสองถ้าไม่ใช่, $2$ ด้านบนสามารถถูกแทนที่ด้วยฐานใดก็ได้ที่ต้องการไม่เป็นไร)

แล้วก็ $\alpha$ คำนวณได้ในเวลาพหุนามเนื่องจากเราสามารถคำนวณได้ครั้งแรก $n$ บิตโดยการตรวจสอบว่า $a,a^2,\dots,a^n$ อยู่ใน $L_1$. ด้วยเหตุผลเดียวกันมันไม่สามารถคำนวณได้ทันเวลา$O(n^k)$ในขณะที่ $n$บิตที่กำหนดว่า $a^n\in L_1$.

สำหรับคนใด $m$, ปล่อย

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ และ $q=2^{2^{3m+1}}$. แล้วก็ $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ ดังนั้น, $\alpha$ มีการวัดที่ไร้เหตุผลอย่างน้อย $4$จึงเป็นธรรมดาโดยทฤษฎีบทโรท