คำถามติดแท็ก comp-number-theory

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณของจำนวนเต็มแฟในจำนวนฟิลด์ทั่วไป? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: กว่าจำนวนเต็มเราแสดงจำนวนเต็มผ่านการขยายไบนารีของพวกเขา การเป็นตัวแทนแบบอะนาล็อกของจำนวนเต็มในฟิลด์หมายเลขทั่วไปคืออะไร เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าการเริ่มต้นเหนือฟิลด์หมายเลขนั้นเป็น P หรือ BPP อัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการรับแฟล็กฟิลด์หมายเลข (ทำexpn−−√exp⁡n\exp \sqrt nและ (เห็นได้ชัด)expn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ขั้นตอนวิธีการขยายจากZZ\mathbb{Z}?) นี่แฟหมายถึงการหาตัวแทนของตัวเลขบางคน (แสดงโดยnnnบิต) เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะ ความซับซ้อนของการค้นหา factorizations ทั้งหมดของจำนวนเต็มในเขตข้อมูลจำนวนคืออะไร? ในการนับจำนวนแฟคทอเรียลที่แตกต่างกันนั้นมีเท่าไหร่? กว่าZZ\mathbb{Z}เป็นที่รู้จักกันว่าการตัดสินใจว่าจำนวนที่กำหนดมีปัจจัยในช่วง[a,b][a,b][a,b]เป็น NP-ยาก เหนือวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนจะเป็นไปได้ไหมที่เราจะค้นพบว่ามีปัจจัยสำคัญที่บรรทัดฐานอยู่ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งแล้วหรือไม่? มีการแยกตัวประกอบในเขตข้อมูลหมายเลขใน BQP หรือไม่ ข้อสังเกตแรงจูงใจและการปรับปรุง แน่นอนความจริงที่ว่าการแยกตัวประกอบไม่แตกต่างกันไปตามจำนวนเขตข้อมูลเป็นสิ่งสำคัญที่นี่ คำถาม (โดยเฉพาะตอนที่ 5) ได้รับแรงบันดาลใจจากการโพสต์บล็อกผ่าน GLL (ดูคำพูดนี้ ) และจากคำถาม TCSexchange ก่อนหน้านี้ ผมนำเสนอก็ยังบล็อกของฉันที่ Lior Silverman นำเสนอคำตอบอย่างละเอียด

25 cc.complexity-theory  nt.number-theory  comp-number-theory 

Recallจำนวน primesเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ โดย "PRIMES in P" การคำนวณอยู่ใน #P ปัญหา # P-complete หรือไม่ หรืออาจมีเหตุผลที่ซับซ้อนที่จะเชื่อว่าปัญหานี้ไม่สมบูรณ์ # P? π(n)π(n)\pi(n)≤n≤n\le nπ(n)π(n)\pi(n) ป.ล. ฉันรู้ว่านี่เป็นเรื่องไร้เดียงสาเพราะใครบางคนต้องศึกษาปัญหาและพิสูจน์ / หักล้าง / คาดเดาสิ่งนี้ แต่ฉันไม่สามารถหาคำตอบในวรรณกรรมได้ ดูที่นี่หากคุณสงสัยว่าทำไมฉันถึงแคร์

20 cc.complexity-theory  counting-complexity  nt.number-theory  comp-number-theory  primes 

ใครสามารถช่วยฉันด้วยปัญหาต่อไปนี้? ฉันต้องการหาค่าบางอย่างa i , b jai,bja_i,b_j (mod ยังไม่มีข้อความNN ) โดยที่i = 1 , 2 , … , K , j = 1 , 2 , … , Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K (เช่นK = 6K=6K=6 ) ให้รายการของค่าเค2K2K^2ที่ สอดคล้องกับความแตกต่างa i - b j( modไม่มี)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N (เช่นN = 251N=251N=251 ) โดยไม่ทราบความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันอย่างเป็นรูปธรรม ตั้งแต่ค่าa i , b …

19 ds.algorithms  linear-algebra  nt.number-theory  cryptographic-attack  comp-number-theory 

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเป็นกลไกที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์จำนวนเต็มมีค่าสัมประสิทธิ์ในแหวนของสารตกค้างแบบโมดูโลเมตร ตัวเลขmอาจไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ แต่คอมโพสิต (ดังนั้นการคำนวณจะดำเนินการในวงแหวนไม่ใช่ฟิลด์)Zม.Zm\mathbb{Z}_mม.mmม.mm เท่าที่ฉันรู้ (อ่านด้านล่าง) อัลกอริธึมส่วนใหญ่เป็นการดัดแปลงการกำจัดแบบเกาส์เซียน คำถามเกี่ยวกับประสิทธิภาพการคำนวณของขั้นตอนเหล่านี้ หากเกิดขึ้นว่ามีวิธีการที่แตกต่างกันฉันก็อยากรู้เกี่ยวกับมัน ขอบคุณล่วงหน้า. ปรับปรุง: ฉันขออธิบายที่มาของคำถามนี้ สมมติว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นZ mจึงเป็นสนาม และในกรณีนี้เราสามารถทำการคำนวณทั้งหมดโดยใช้ตัวเลขน้อยกว่าmดังนั้นเราจึงมีขอบเขตบนที่ดีในการดำเนินการทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลข: การเพิ่มการคูณและการผกผัน --- การดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อเรียกใช้การกำจัดแบบเกาส์ม.mmZม.Zm\mathbb{Z}_mม.mm บนมืออื่น ๆ ที่เราไม่สามารถดำเนินการผกผันสำหรับตัวเลขบางอย่างในกรณีที่ไม่ได้เป็นนายก ดังนั้นเราจึงต้องการเทคนิคบางอย่างในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ม.mm และตอนนี้ฉันก็อยากรู้ว่ากลเม็ดที่รู้จักกันดีในการทำงานคืออะไร

18 ds.algorithms  reference-request  linear-algebra  comp-number-theory 

ในขณะที่อ่านบล็อกของ Dick Lipton ฉันพบความจริงต่อไปนี้ใกล้ถึงจุดจบของBourne Factorของเขา: ถ้าสำหรับทุกมีความสัมพันธ์ของแบบฟอร์ม ( 2 n ) อยู่! = m - 1 ∑ k = 0 a k b c k k โดยที่m = p o l y ( n )และแต่ละa k , b kและc kเป็นp o l y ( n )ในความยาวบิตจากนั้น แฟคตอริ่งมีวงจรขนาดพหุนามnnn(2n)!=∑k=0m−1akbckk(2n)!=∑k=0m−1akbkck (2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k …

16 ds.algorithms  reference-request  factoring  comp-number-theory 

ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าช่วงเวลาของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยนายกหรือไม่? ตัวแปรของ Sieve of Eratosthenes ให้อัลกอริธึมโดยที่Lคือความยาวของช่วงเวลาและ∼ซ่อนโพลี - ลอการิทึมปัจจัยในจุดเริ่มต้นของช่วงเวลา; เราสามารถทำได้ดีกว่า (ในแง่ของLคนเดียว)?O~(L)O~(L)\tilde O(L)LLL∼∼\simLLL

14 cc.complexity-theory  ds.algorithms  nt.number-theory  comp-number-theory 

จากความเห็นเกี่ยวกับหนึ่งในคำถามของฉันเกี่ยวกับ MathOverflow ฉันรู้สึกว่าคำถามเกี่ยวกับ GCD อยู่ใน vs.เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มใน vs.{}N Cยังไม่มีข้อความค\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}N Pยังไม่มีข้อความP\mathsf{NP} มีบางอย่างเช่นอัลกอริทึม"quantum " สำหรับ GCD เนื่องจากมีเวลาพหุนามควอนตัม ( ) อัลกอริธึมสำหรับ Integer Factorization หรือไม่N Cยังไม่มีข้อความค\mathsf{NC}B Q PBQP\mathsf{BQP} คำถามที่เกี่ยวข้อง: ความซับซ้อนของตัวหารทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (gcd)

14 cc.complexity-theory  quantum-computing  dc.parallel-comp  nt.number-theory  comp-number-theory 

ฟังก์ชัน Mobius ถูกกำหนดให้เป็นμ ( 1 ) = 1 , μ ( n ) = 0ถ้าnมีตัวประกอบกำลังสองกำลังสองและμ ( p 1 … p k ) = ( - 1 ) kหากค่าทั้งหมดp 1 , … , p kต่างกัน เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณμ ( n )μ ( n )μ(n)\mu(n)μ ( 1 ) = 1μ(1)=1\mu(1)=1μ ( n ) = …

13 comp-number-theory 

ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าปัญหาต่อไปนี้อยู่ในระดับความซับซ้อน ปัญหารูตแบบพหุนามแบบ Exponentiating (EPRP) ปล่อยให้เป็นพหุนามกับด้วยสัมประสิทธิ์ที่ดึงมาจากสนาม จำกัดด้วยเป็นจำนวนเฉพาะและดั้งเดิมสำหรับสนามนั้น ตรวจสอบการแก้ปัญหาของ: (หรือค่าเท่าศูนย์ของ ) ที่หมายถึง exponentiating Rp(x)p(x)p(x)deg(p)≥0deg⁡(p)≥0\deg(p) \geq 0GF(q)GF(q)GF(q)qqqrrrp(x)=rxp(x)=rxp(x) = r^x p(x)−rxp(x)−rxp(x) - r^xrxrxr^xrrr โปรดสังเกตว่าเมื่อ (พหุนามเป็นค่าคงที่) ปัญหานี้จะเปลี่ยนเป็นปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเชื่อกันว่าเป็นปัญหาระดับกลาง - นั่นคือมันอยู่ใน NP แต่ไม่ใช่ใน P หรือ NP- สมบูรณ์ .deg(p)=0deg⁡(p)=0\deg(p)=0 ด้วยความรู้ที่ดีที่สุดของฉันอัลกอริทึม (พหุนาม) ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหานี้ไม่มีอยู่ (อัลกอริทึม Berlekamp และ Cantor – Zassenhaus ต้องการเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล) การค้นหารากของสมการดังกล่าวสามารถทำได้สองวิธี: ลองใช้ไอเท็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดในฟิลด์และตรวจสอบว่าพวกเขาเป็นไปตามสมการหรือไม่ เห็นได้ชัดว่านี่ต้องใช้เวลาชี้แจงในการปรับขนาดของสนามโมดูลัส;xxx เลขชี้กำลังสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบพหุนามโดยใช้การแก้ไข Lagrange เพื่อแก้ไขจุด กำหนดพหุนาม(x) พหุนามนี้เป็นเหมือนการแม่นยำเพราะเรากำลังทำงานในฟิลด์ จำกัด …

12 cc.complexity-theory  reference-request  comp-number-theory  np-intermediate 

ฌอนแอนเดอร์สันตีพิมพ์แฮ็กแบบทวิปสองบิตที่มีอัลกอริทึมของ Eric Cole เพื่อค้นหา⌈ บันทึก2v ⌉⌈เข้าสู่ระบบ2⁡โวลต์⌉\lceil\log_2 v \rceilของยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความN -bit จำนวนเต็มโวลต์โวลต์vในการดำเนินการO ( lg( N) )O(LG⁡(ยังไม่มีข้อความ))O(\lg(N))ด้วยการคูณและค้นหา อัลกอริทึมนั้นอาศัยหมายเลข "เวทมนต์" จากลำดับ De Bruijn ใครสามารถอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของลำดับที่ใช้ที่นี่ได้ไหม uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v int r; // result goes here static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, …

11 nt.number-theory  comp-number-theory 

เมื่อให้ coprime aคุณสามารถคำนวณa , ba,ขa, bนาทีx , y> 0|ax-ขY|นาทีx,Y>0|ax-ขY| \min_{x, y > 0} |a^x - b^y| ที่นี่x , yx,Yx, yเป็นจำนวนเต็ม เห็นได้ชัดว่าการx = y= 0x=Y=0x = y = 0ให้คำตอบที่ไม่น่าสนใจ; โดยทั่วไปพลังเหล่านี้จะได้ใกล้แค่ไหน นอกจากนี้เราจะคำนวณการย่อขนาด x, yได้อย่างรวดเร็วได้x , yx,Yx, yอย่างไร?

9 ds.algorithms  randomized-algorithms  nt.number-theory  comp-number-theory 

มีผู้ใดรู้จำนวนอดิศัยยอดนิยมเช่นนั้น nnnตัวเลขหลักที่คำนวณได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่ได้อยู่ใน O(n)O(n)O(n)?

9 cc.complexity-theory  comp-number-theory