นี่คือ“ การบรรจุกลุ่มย่อย” โพลีท็อปอินทิกรัลหรือไม่

ให้เป็นกลุ่ม abelian ที่มีขอบเขต จำกัด และให้เป็น polytope ในกำหนดให้เป็นจุดสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

ที่หมายความเป็นกลุ่มย่อยของΓคือหนึ่ง? ถ้าเป็นเช่นนั้นเราสามารถอธิบายลักษณะของจุดยอดได้หรือไม่? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

แต่เดิมคำถามของฉันเกิดขึ้นกับซึ่งมีตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ( ) แนะนำว่าคำตอบคือ "ใช่" และ "อาจจะ แต่ไม่ใช่ง่าย ๆ " ฉันยังลองกลุ่มวงจรในองค์ประกอบ 9 และ 10 เช่นเดียวกับซึ่งโพลีtopeนั้นเป็นส่วนประกอบอีกครั้ง polytope นั้นไม่ได้รวมกันเมื่อเป็น , และใด ๆ ดังนั้นการเห็นพ้องต้องกันจึงเป็นสิ่งจำเป็น $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

ฉันควรจะพูดถึงว่าถ้าคุณเขียนสมการชุดแรกเป็นดังนั้นก็ไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบเดียวเลย (ซึ่งก็หมายความว่าโพลีท็อปเป็นส่วนประกอบ) เมื่อคุณสามารถเลือกที่สาม linearly อิสระและใช้เวลาสาม 's ทอดโดยคู่ขององค์ประกอบที่เลือกแต่ละกรัมsubmatrix ส่งผลให้เป็น ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงและเพื่อให้มีปัจจัย 2 $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

เป็นเรื่องง่าย (ถ้าน่าเบื่อ) ในการกำหนดลักษณะของจุดยอดสำหรับกลุ่มคำสั่งซื้อพิเศษและสังเกตว่ามันเป็นส่วนประกอบ ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าสิ่งนี้สามารถขยายไปยังกลุ่มวงโคจรที่มีอำนาจพิเศษ ฉันไม่แน่ใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อทานผลิตภัณฑ์

ระบบนี้เป็นระบบที่จำได้มากสำหรับการกำหนดpolymatroidsแต่แทนที่จะเป็นชุดฟังก์ชัน submodular ข้อ จำกัด คือ "ฟังก์ชั่นกลุ่มย่อย" ที่ฉันสงสัยว่าเป็น 'submodular' ทันทีที่ถูกกำหนดไว้อย่างถูกต้อง ถึงกระนั้นเทคนิคในการแสดง polymatroids บางตัวก็อาจรวมถึงการทำงานที่นี่เช่นกัน แต่ฉันก็ไม่เห็นด้วย

$\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
แหล่งที่มา

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

x

$x$

x

$x$

ใช่นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจและอยากรู้อยากเห็น (ถ้าคุณไม่รังเกียจที่จะแบ่งปัน) มีแรงบันดาลใจที่จะดูโพลิสtopเหล่านี้โดยเฉพาะหรือไม่? หรือเพียงแค่บางสิ่งที่สะดุดโดยบังเอิญ?

— John Machacek

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{i}

$x_i$

G

$G$

แอนดรูว์ (ผู้ถาม) และฉันได้พูดคุยเรื่องนี้ผ่านอีเมลและเราได้แสดงให้เห็นว่าการคาดเดานั้นผิด polytope นั้นไม่สำคัญสำหรับกลุ่ม Abelian ไม่ใช่แม้แต่กลุ่มวงจร

ในด้านบวก

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

นี่เป็นเพราะครอบครัวของกลุ่มย่อยเป็นสหภาพของครอบครัวลามินาร์สองครอบครัว

$2\times 3\times 5 =30$

$30$

$x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— เจ้า Xu
แหล่งที่มา