ภาพรวมระดับสูงของวิธีการประมาณค่าของ Razborov

วิธีการประมาณของ Razborov คืออะไร? ใครบางคนสามารถให้ภาพรวมระดับสูงและสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังมันได้หรือไม่

ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชั่นบูลีน $n$-bits ปล่อย$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$. ปล่อย$C$ เป็นวงจรบน n บิตและขนาด $m$ และประตู $g_1, \ldots, g_m$. $g_i$ ยังหมายถึงฟังก์ชั่นเปิด $n$บิตคำนวณโดย subcircuit ด้วย $g_i$เป็นประตูสุดท้าย ครั้งแรก$n$ ประตูสำหรับการป้อนข้อมูล $x_1, \ldots, x_n$. เป้าหมายคือการแสดงให้เห็นว่า$C$ ขนาด $m$ ไม่สามารถคำนวณได้ $f$. พิจารณาการคำนวณทั้งหมดของ$C$ ในอินพุตจาก $Z$. การคำนวณกำหนดค่าให้กับเอาต์พุตของเกต ปล่อย$B$ เป็นพีชคณิตแบบบูลของ $P(Z)$.

แนวคิดคือการพิจารณาสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $g$ บน $n$- บิตมันใกล้เคียงดีเพียงใด $f$ บน $Z$. ปล่อย$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$.

สำหรับเครื่องกรองขนาดเล็ก $F \subseteq B$ เราสามารถกำหนดการคำนวณใหม่โดย ultraproduct จากมัน: $c(g_i) = 0$ IFF $||g_i|| \not\in F$. เพราะ ultrafilter เป็นชุดของการคำนวณที่สอดคล้องกันสำหรับ 0 ค่าผลลัพธ์$c$เป็นการคำนวณที่ถูกต้อง มันจะทำตามนั้น$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$. เราสร้างการคำนวณใหม่จากรายการที่มีอยู่ เนื่องจาก ultrafilters ทั้งหมดในเซต จำกัด เป็นตัวหลัก$c_1,\ldots,c_n \in Z$. สิ่งนี้ใช้ได้กับวงจรใด ๆ เราไม่ได้ใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าวงจรมีขนาด$m$.

แนวคิดต่อไปคือการใช้ประโยชน์จากความประณีตของวงจรเพื่อสร้างอินพุตใหม่ที่อยู่ภายนอก $Z$ และ $f(w) \neq 0$ แต่วงจรไม่สังเกตเห็นเนื่องจากมีขนาดที่ จำกัด และดังนั้นจึงยังคงส่งออก 0 ดังนั้นจึงไม่ได้คำนวณ $f$.

เราต้องผ่อนคลายนิยามของ ultrafilter เพื่อที่เราจะได้รับอินพุตจากภายนอก $Z$. ในสถานที่ของ ultrafilters เราใช้ส่วนย่อยปิดขึ้นของ$B$ ($a \in F$ และ $a \subseteq b$ หมายถึง $b \in F$) ที่รักษาพบ ($a,b \in F$ หมายถึง $a \cap b \in F$)

ปล่อย $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$. $W_F$ เป็นชุดของอินพุตที่สอดคล้องกับ $F$. ถ้า$F$ เป็นนายก ($a \cup b \in F$ หมายถึง $a \in F$ หรือ $b \in F$) และไม่ใช่เต็ม ($\emptyset \not\in F$) จากนั้นสำหรับแต่ละ $i$, $F$ มีทั้ง $||x_i||$ หรือ $||\lnot x_i||$ และ $W_F$ มีเพียงอินพุตเดียว

พวกเราจะไปผ่อนคลายการอนุรักษ์ของการประชุม ในสถานที่ที่ทุกคนพบกันในพีชคณิตแบบบูลเราจะเก็บมันไว้เป็นจำนวนเล็กน้อย ปล่อย$|f|$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด $k$ ของพบ $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ เช่นนี้สำหรับทุกคนที่ปิด - ขึ้นไม่เต็ม $M$-preserving $F$, $W_F \subseteq Z$.

ปล่อย $m$ เป็นวงจรที่ซับซ้อนของ $f$. Razborov พิสูจน์แล้วว่า$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$.

โปรดทราบว่าความไม่เท่าเทียมนี้มีไว้สำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมด เพื่อพิสูจน์ขอบเขตขนาดวงจรที่ต่ำกว่า$m$ แสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกคน $m$-meets $M$มี $F$ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข แต่เป็นไปตามเงื่อนไข $W_F$ ไม่มีอยู่ใน $Z$. นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างของวงจรที่แข็งแรงด้วยวิธีนี้ได้เนื่องจากความไม่เท่าเทียมที่สอง

ส่วนที่แท้จริงของการพิสูจน์ขอบเขตล่างของวงจรคือแสดงให้เห็น $m$สำหรับใด ๆ $m$- ตรงมีเช่น $F$. ในกรณีของวงจรโมโนโทนสภาพเกี่ยวกับ$W_F$ ลดความยุ่งยากในการ $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ ดังนั้นมากับ $F$ ง่ายกว่า

Alexander Razborov เกี่ยวกับวิธีการประมาณ, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, ในการพิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับขนาดวงจร, 1995

Tim Gowers วิธีการประมาณ Razborov ของ, 2009. pdf

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ : นี่เป็นเพียงภาพรวมระดับสูงที่มีจุดประสงค์เพื่อให้สัญชาตญาณวิธีการที่ใช้ในรายงานล่าสุดของ Blum

ฉันจะพยายามใช้สัญกรณ์ที่ใกล้เคียงกับสิ่งที่ใช้ในกระดาษข้างต้น

ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชั่นบูลีน $n$ ตัวแปร $x_1,\dots,x_n$. สมมติว่าเราต้องการพิสูจน์ว่าการประมวลผลเครือข่ายแบบบูลใด ๆ$f$ มีขนาดใหญ่

ให้เครือข่ายบูลีน $\beta$ คอมพิวเตอร์ $f$ ที่โหนดเอาต์พุตให้พิจารณากระบวนการต่อไปนี้

1. สั่งประตูเข้า $\beta$ ตามลำดับทอพอโลยี $g_1,g_2,\dots,g_m$ โดยที่โหนดสุดท้ายคือโหนดเอาต์พุต
2. สำหรับแต่ละขั้นตอน $t=1,\dots,m$เราจะประมาณฟังก์ชันที่คำนวณที่เกต$g_t$ โดยฟังก์ชั่น "ง่าย" $f_{g_t}$. การประมาณนี้อาจเปลี่ยนฟังก์ชั่นที่คำนวณที่โหนดดาวน์สตรีมของ$g_t$ (โดยเฉพาะฟังก์ชั่นที่โหนดเอาท์พุท $g_m$ อาจมีการเปลี่ยนแปลง)

ในตอนท้ายของกระบวนการนี้เราจะประมาณฟังก์ชั่นการคำนวณที่ $g_m$ โดยฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย $f_{g_m}$.

ถัดไปสร้างกลุ่มของอินพุตทดสอบ $T\subseteq \{0,1\}^n$.

สมมติว่าเราสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้:

• การประมาณของแต่ละโหนดนั้นดี (เช่นอย่างมากที่สุด) $e$ข้อผิดพลาดมากมายถูกนำมาใช้กับอินพุตจาก $T$ ในแต่ละขั้นตอนการประมาณค่า)
• ไม่มีฟังก์ชั่นที่ง่ายประมาณ $f$ ดี (เช่นสำหรับฟังก์ชั่นที่เรียบง่ายใด ๆ $f_{g_m}$, เรามี $f_{g_m}\neq f$ ในมากกว่า $d$- เศษส่วนของ $T$)

จากนั้นเพียงนับจำนวนข้อผิดพลาดที่เราได้รับ $\beta$ ต้องมีอย่างน้อย $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$- ประตูหลายบาน

หากรูปแบบการประมาณนี้สามารถแสดงให้ทำงานกับเครือข่ายใด ๆ $\beta$ คำนวณฟังก์ชัน $f$จากนั้นเราก็มาถึงขอบเขตล่างสำหรับความซับซ้อนของวงจร $f$.