Tardos Function Counterexample เป็น Claim

ในเธรดนี้การพิสูจน์ของ Norbet Blum พยายามหักล้างโดยสังเขปโดยสังเกตว่าฟังก์ชัน Tardos นั้นเป็นตัวอย่างที่ตรงกันข้ามกับทฤษฎีบท 6 $P \neq NP$

ทฤษฎีบทที่ 6 : ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียว สมมติว่ามี CNF-DNF-approximatorซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ต่ำมุ่ง(ฉ) แล้วนอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการพิสูจน์เดียวกันต่ำมุ่ง(ฉ) $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

นี่คือปัญหาของฉัน: ฟังก์ชั่น Tardos ไม่ใช่ฟังก์ชั่นบูลีนดังนั้นมันจะตอบสนองสมมติฐานของทฤษฎีบท 6 ได้อย่างไร

ในบทความนี้พวกเขาพูดถึงความซับซ้อนของฟังก์ชั่นซึ่งไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียวโดยทั่วไปเนื่องจากการเพิ่มขอบสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นเพื่อทำให้ false เมื่อมันเป็นจริงโดยมีค่าน้อยกว่าในอินพุต ฟังก์ชั่นไม่ได้โดยทั่วไปในการประมวลผลในและในT_0 $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

ในความเป็นจริงชุดทดสอบและได้รับการคัดเลือกอย่างแม่นยำเพื่อให้การคำนวณบนและบนมีความหมายความว่าฟังก์ชันของคุณในการคำนวณ CLIQUE ได้อย่างแม่นยำ (พวกเขากำหนดขอบเขตของและในโครงข่ายอินพุต ) ดังนั้นคำพูดเหล่านี้บ่งบอกว่าฟังก์ชั่น Tardos เหมือนกับ CLIQUE ซึ่งไม่ชัดเจนว่าเป็นจริง $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

ถึงกระนั้นผู้คนจำนวนมาก - และคนที่มีความรู้เช่นนั้น - อ้างว่าฟังก์ชั่น Tardos เป็นตัวอย่างแบบทันทีดังนั้นจะต้องมีบางสิ่งที่ขาดหายไป คุณช่วยอธิบายรายละเอียดหรือหลักฐานให้พวกเราที่เป็นผู้มีส่วนได้เสียได้บ้างหรือไม่?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— user144527
แหล่งที่มา

แหล่งข้อมูลที่ดีจะเป็นหนังสือของ Jukna, หน้า 262 (ก่อนหน้าทฤษฎีบท 9.28) รับฟังก์ชั่น (ไม่ใช่บูลีน)พิจารณาฟังก์ชันบูลีนซึ่งเป็น thresholding ของ :ผลลัพธ์จะถูกนำมาใช้

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— ผ่อนผัน C.

ดังนั้นเพื่อความชัดเจนคุณกำลังบอกฉันว่าจะประเมินเป็นในกลุ่มของขนาดและในกราฟของจุดยอดเกิดจากสี ?

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

แน่นอน ths ไม่ถือสำหรับใด ๆ \แต่ Tardos' ฟังก์ชั่นตั้งอยู่บนพื้นฐานเดียวกราฟฟังก์ชั่นความพึงพอใจ(G) ดังนั้นการกำหนดค่าใหม่ของทำสิ่งที่คุณพูด ดูตอนท้ายของมาตรา 9.8 ที่นี่

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

ขวา. จริง ๆ แล้วฉันไม่เข้าใจว่าทำไมผู้คนถึงลงคะแนนของคุณ (มีสิทธิ์ในการดูเสียงรบกวนรอบคำถาม "พิสูจน์") นี้? ตอนนี้เป็นของผู้เขียน P! = การอ้างสิทธิ์ NP: อธิบายว่าทำไม "การพิสูจน์" จึงไม่สามารถใช้งานได้กับฟังก์ชั่นของ Tardos ชี้ไปที่หน้า X และบรรทัด Y ในกระดาษ คำแนะนำ: ข้อผิดพลาดจะอยู่ในขอบเขตของจำนวนข้อผิดพลาดที่แนะนำในระหว่างการประมาณ (การปฏิเสธสามารถทำลายคำว่า "ที่ถูกต้อง" ก่อนหน้านี้จำนวนมาก) มิฉะนั้น (ไม่มีคำอธิบาย) = ไม่ "พิสูจน์"

— Stasys

@ Stasys ความคิดเห็นแรกของคุณอาจเป็นคำตอบ

— Kaveh

ดังนั้นคำพูดเหล่านี้บอกเป็นนัยว่าฟังก์ชัน Tardosเหมือนกับ CLIQUE $f$

คำตอบสั้น ๆ - ไม่

มันเป็นเพียงเสียงเดียว "clique-like": ยอมรับ -cliques ทั้งหมดและปฏิเสธกราฟทั้งหมด -partite อย่างไรก็ตามสามารถยอมรับกราฟบางรายการที่ถูกปฏิเสธโดย CLIQUE: กราฟมีแต่ (ซึ่งเรียกว่ากราฟ "ไม่สมบูรณ์") กระดาษโดยGrötschel, Lovászและ Schrijver หมายความว่ามีวงจรที่ไม่ใช่เสียงเดียวขนาดพหุนาม แต่ตามทฤษฏีที่ 6 ใน"หลักฐาน" , ใด ๆเดียวก๊กเหมือนแบบบูลฟังก์ชั่นต้องใช้วงจรที่ไม่ใช่เสียงเดียวขนาดซุปเปอร์พหุนาม ดังนั้นหนึ่งในสองบทความนี้ต้อง $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ จะผิด. กระดาษ GLS-1981 มีมานานแล้ว> 35 ปี ...

สิ่งที่ Tardos ทำมีดังต่อไปนี้ เธอเริ่มจากฟังก์ชั่นกราฟโดยที่คือLovász 'theta-function ที่มีชื่อเสียง ความจริงพื้นฐานคือว่าจำนวน คั่นกลางระหว่างจำนวนก๊กและจำนวนรงค์:(G) จากนั้นเธอใช้ความจริงที่ว่าสามารถประมาณได้ในเวลาพหุนาม จากนี้เธอกำหนดกราฟฟังก์ชั่นด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้: $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

ค่าของสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม (ในจำนวนของจุดยอด) $\phi(G)$ $n$
$\phi$ เป็นเสียงเดียว: การเพิ่มขอบสามารถเพิ่มมูลค่าได้เท่านั้น
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ ถือหุ้นทั้งหมดของกราฟG $G$

จากนั้น (เป็นบันทึกผ่อนผันซี) เธอกำหนดที่ต้องการฟังก์ชั่นเสียงเดียวแบบบูลนาม: IFFk โดย (1) ฟังก์ชันมีวงจร (ไม่ใช่โมโนโทน) ขนาดพหุนาม โดย (2)คือฟังก์ชันบูลีนแบบโมโนโทน โดย (3), ยอมรับ -cliques ทั้งหมดและปฏิเสธกราฟสมบูรณ์ -partite ทั้งหมด $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

ดูที่นี่สำหรับรายละเอียดทางเทคนิค

— Stasys
แหล่งที่มา

กระดาษ GLS-1981 มาที่นี่ฟรี ในทางกลับกันกระดาษนี้มีพื้นฐานอยู่บนกระดาษ elipsoid Khachiyan-1979 ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในสามบทความนี้จะต้องผิด?

— Tobias Müller

@Tobias: ดีเราค่อนข้างแน่ใจว่าทั้งสอง> 35 เอกสารเก่าถูกต้อง (ทำซ้ำหลายครั้งในการบรรยายใครบางคนจะได้สังเกตเห็นข้อผิดพลาด) ปัญหาที่เกิดขึ้นกับ "หลักฐาน" ในปัจจุบันคือ "การก่อสร้าง" ไม่ใช่ "โดยการโต้แย้ง" (ดังที่กล่าวไว้ในเอกสารสองฉบับ) มันยากที่จะชี้ไปยังสถานที่ที่เฉพาะเจาะจงซึ่ง "การก่อสร้าง" ล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ "ก่อสร้าง" เป็นเช่นนั้นไม่แน่ชัด นี่คือเหตุผลที่ฉันคิดว่าตอนนี้เป็นหน้าที่ของผู้เขียนไม่ใช่ของเราที่จะชี้ไปที่สถานที่นี้ (ที่ Tardos ไม่ผ่านการก่อสร้างของเขา)

— Stasys