การตัดสินใจบิตที่สำคัญที่สุดของการคูณแบบไบนารี

ฉันสนใจที่จะกำหนดความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจดังต่อไปนี้: ให้จำนวนเต็มสองตัวและ (แต่ละอันที่ m บิตส่วนใหญ่) ตัดสินใจว่าบิตที่สำคัญที่สุดของการคูณคือ 1 (โดยที่ผลลัพธ์ มีการพิมพ์ใน 2m บิตโดยมี 0 นำหน้า) $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

พื้นหลังของปัญหา: เห็นได้ชัดว่าปัญหานี้เป็นกรณีพิเศษของการคูณเลขฐานสองที่ถามว่า th บิตของการคูณคือ 1 ในกระดาษของพวกเขาวงจรความลึกคงที่สม่ำเสมอสม่ำเสมอสำหรับการหารและทำซ้ำ คูณ , เฮสส์และบาริงตัน Allender พิสูจน์ว่าซ้ำ (และไบนารีจึง) คูณอยู่ใน - เครื่องแบบ 0ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นที่รู้กันดีว่าการคูณแบบไบนารีนั้นมีอยู่แล้ว $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -ชุดแข็ง อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาแหล่งที่มาที่พิสูจน์ผลลัพธ์ความแข็งนี้ได้ ในฐานะที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในเรื่องความซับซ้อนของวงจรผมก็ขอขอบคุณตัวชี้ไปยังผลลัพธ์ความแข็งทั่วไปนี้ สุดท้ายสมมติว่าคูณไบนารี -เครื่องแบบ -hard คำถามของฉันยังสามารถอ่านได้: ไม่ก็ยังคง -เครื่องแบบ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ - ยากไหมถ้าเราต้องการตัดสินใจเพียงบิตที่สำคัญที่สุดของการคูณเลขฐานสอง?

UPDATE: คำตอบของ Kaveh ชี้แจงว่าทำไมการคูณแบบไบนารีคือฮาร์ด (ลดลงจาก COUNT) ความซับซ้อนที่แม่นยำในการตัดสินใจบิตที่สำคัญที่สุดของการคูณแบบไบนารียังคงเปิดอยู่ (และความโปรดปรานสำหรับคำถามนี้) $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— เฮ้เฮ้เฮ้
แหล่งที่มา

มีหลักฐานในหนังสืออธิบายความซับซ้อน iirc ไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คุณหมายถึงโดยบิตที่สำคัญที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งก็มักจะเป็นหนึ่งโดยการกำหนด

— Kaveh

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

@Kaveh ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง: ฉันจะตรวจสอบออก ขออภัยในความสับสนเกี่ยวกับบิตที่สำคัญที่สุด ฉันถือว่าโดยปริยายว่าผลลัพธ์ถูกพิมพ์ใน 2m-1 บิตและหากจำเป็นด้วยการนำของ 0

— Heyheyhey

@Kaveh: ใน Descriptive Complexity Book จะกล่าวถึงเฉพาะขอบเขตบนเท่านั้น ฉันไม่สามารถหาอะไรเกี่ยวกับความแข็งของการคูณเลขฐานสองได้

— Heyheyhey

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

$\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

$\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ใช่สิ่งนี้ยืนยันว่าการคูณแบบไบนารีนั้นเสร็จสมบูรณ์สำหรับ TC0 สำหรับบิตที่สำคัญที่สุดมีบางประเด็นที่เหลือ บิตที่สำคัญที่สุดของการคูณ (111 x 111) = 110001 คือ 1 และสำหรับอันนี้ (100 x 100) = 010000 ก็คือ 0 โปรดทราบว่าบิตที่สำคัญที่สุดของ multiplicands จะเหมือนกันในทั้งสองกรณี ดังนั้นฉันไม่คิดว่าโดยทั่วไปแล้วมันก็เพียงพอที่จะรวมบิตที่สำคัญที่สุด ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

— Heyheyhey

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

การแก้ไขไม่ถูกต้อง เนื่องจากเรากำลังเพิ่มหมายเลข m อาจไม่มีการพกหนึ่งบิต แต่เป็น log m การตัดสินใจว่าจะแพร่กระจายไปมากเท่าใดก็ยากกว่ามาก

— Emil Jeřábek

แท้จริงแล้วการไม่สนใจสิ่งอื่นทั้งหมด: การคำนวณการกระทำในตำแหน่งเดียว (พูดที่ใดที่หนึ่งตรงกลาง) นั้นมีค่าเทียบเท่ากับ Count ดังนั้น TC ^ 0 จึงสมบูรณ์

— Emil Jeřábek

@Heyheyhey สูตรที่ฉันเขียนคือ FO และดังนั้นในเครื่องแบบ AC0

— Kaveh