ตัวอย่างแสดงพลังของวงจรที่ไม่ได้กำหนดค่า

ไม่ใช่กำหนดวงจรบูลีนมีนอกเหนือไปจากปัจจัยการผลิตสามัญชุดของปัจจัยการผลิต "ไม่กำหนดว่า" )ไม่ใช่กำหนดวงจรรับข้อมูลถ้ามีดังกล่าวว่าวงจรการส่งออกใน )คล้ายกับ $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ (ระดับของภาษา decidable โดยวงจรขนาดพหุนาม), สามารถกำหนดเป็นคลาสของภาษา decidable โดยขนาดพหุนามไม่ใช่วงจรที่กำหนดขึ้นได้ เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าวงจรที่ไม่ใช่กำหนดขึ้นมีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าวงจรกำหนดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งบ่งบอกว่ายุบลำดับชั้นของพหุนาม $NP/poly$ $NP \subset P/poly$

มีตัวอย่างที่ชัดเจน (และไม่มีเงื่อนไข) ในวรรณคดีที่แสดงว่าวงจรที่ไม่ได้กำหนดค่าจะมีประสิทธิภาพมากกว่าวงจรที่กำหนดขึ้นหรือไม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณรู้จักตระกูลฟังก์ชัน คำนวณได้โดยวงจรที่ไม่กำหนดขนาดแต่ไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรที่กำหนดขนาด ? $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— Gustav Nordh
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่าครอบครัวจะเป็นที่รู้จัก นี่คือรายงานเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่ศึกษาวงจรไม่กำหนดค่า: arxiv.org/abs/1504.06731ฉันจำได้ว่าก่อนที่จะตีพิมพ์บทความ Hiroki ถามคำถามที่คล้ายกันที่นี่

— Alexander S. Kulikov

ขอบคุณ ฉันถือว่าคำถามที่คุณอ้างถึงคือ: cstheory.stackexchange.com/q/25736ซึ่งเกี่ยวข้อง แต่ขอขอบเขตล่างสำหรับความซับซ้อนของวงจรที่ไม่กำหนดขึ้น

— กุสตาฟ Nordh

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของวงจรที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้คือพวกมันสามารถเปลี่ยนเป็นวงจรความลึก 2 ที่เทียบเท่ากันได้เสมอโดยการเพิ่มอินพุตที่ไม่ได้กำหนดขึ้นโดยใช้แนวคิดเดียวกันกับการลดจาก CircuitSAT เป็น SAT โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่หมายความว่าวงจรที่ไม่ได้กำหนดค่าความลึก 2 สามารถคำนวณความเท่าเทียมกันของ n บิตในขนาดพหุนามในขณะที่วงจรที่กำหนดค่าความลึก 2 คำนวณได้ต้องมีขนาด 2 ^ n-1

— หรือเมียร์

จุดดี! โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสัมพันธ์กับผลลัพธ์ของฮิโระกิที่กล่าวถึงข้างต้นว่าความซับซ้อนของวงจรที่ไม่ได้กำหนดค่าของความเท่าเทียมกันคือ 3 (n-1) ซึ่งเท่ากับความซับซ้อนของวงจรที่กำหนดขึ้นของความเท่าเทียมกัน

— กุสตาฟ Nordh

กรณีของสูตร DeMorgan คล้ายกับวงจรความลึก 2 ที่กล่าวถึงข้างต้น สูตร DeMorgan ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้สามารถคำนวณความเท่าเทียมกันของ n บิตในขนาดเชิงเส้นโดยใช้แนวคิดที่คล้ายกันกับวงจรความลึก -2 ในขณะที่สูตร DeMorgan ที่กำหนดขึ้นต้องมีขนาดกำลังสองตามทฤษฎีบทของ Khrapchenko

— Hiroki Morizumi

หากปัญหานี้ยังไม่มีความคืบหน้าฉันมีคำตอบ

ฉันได้พิจารณาปัญหานี้แล้วตั้งแต่กระดาษ COCOON'15 (ก่อนคำถามของคุณ)

ตอนนี้ฉันมีกลยุทธ์การพิสูจน์และมันให้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทันที: มีฟังก์ชันบูลีนที่ nondeterministic วงจรความซับซ้อนของ คือมากที่สุดและกำหนดวงจร ความซับซ้อนของเป็น ) $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

ฉันขอโทษที่ฉันยังไม่ได้เขียนกระดาษ ภาพร่างหลักฐานด้านล่างอาจเพียงพอที่จะอธิบายกลยุทธ์การพิสูจน์ของฉัน ฉันตั้งเป้าหมายที่จะเขียนบทความที่มีผลลัพธ์มากขึ้นตามกำหนดเวลาของ STACS (1 ตุลาคม)

[ร่างหลักฐาน]

Let ) $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

การพิสูจน์ขอบเขตล่างล่างที่กำหนดขึ้นอยู่กับวิธีการกำจัดเกทแบบมาตรฐานพร้อมการดัดแปลงเล็กน้อย

การพิสูจน์ขอบเขตบนของ nondeterministic เป็นการสร้างวงจร nondeterministic

สร้างวงจรประมวลผล . (จำนวนประตูคือ) $Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
สร้างวงจรการเลือกอินพุต nondeterministically (จำนวนประตูคือ) $\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
รวมสองวงจร

— ฮิโรกิโมริซูมิ
แหล่งที่มา

มีบางอย่างผิดปกติกับขอบเขต ความซับซ้อนของ Nondeterministic ไม่สามารถมีขนาดใหญ่กว่าความซับซ้อนที่กำหนดไว้ได้

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณสิ่งที่ฉันกำลังมองหา!

— กุสตาฟ Nordh