ไม่ ?

ฉันคาดหวังคำตอบคือไม่ แต่ฉันไม่สามารถสร้างตัวอย่างจริงได้ ข้อแตกต่างคือในเราอาจไม่สามารถเลือกอย่างสม่ำเสมอ ในε∩ ε > 0 D T ฉันM E ( O ( n 2 + ε ) ) O ( n 2 + ε$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$O(n^{2+ε})$$ε$

โดยการโต้แย้งแบบประกบ (เช่นดูคำถามนี้) หากมีชุด ce ของเครื่องจักรทัวริงตัดสินใจภาษาเช่นนั้นแล้วLคือ ใน\ mathrm {DTIME} (n ^ {2 + o (1)})M ฉัน L ∀ ε > 0 ∃ M ฉัน ∈ O ( n 2 + ε ) L D T ฉันM E ( n 2 + o ( 1 )$M_i$$L$$∀ε>0 ∃M_i ∈ O(n^{2+ε})$$L$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

รับเครื่องทัวริงไม่ว่าเครื่องจะทำงานในเวลา$n^{2+o(1)}$เป็น$Π^0_3$ - เสร็จสมบูรณ์ ไม่ว่าจะเป็นภาษา (รับรหัสสำหรับเครื่องที่รับรู้) อยู่ใน$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$คือ$Σ^0_4$ (และ$Π^0_3$ -hard); ไม่ว่าจะเป็นภาษาที่อยู่ใน$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$คือ$Π^0_3$ - เสร็จสมบูรณ์ หากเราสามารถพิสูจน์$Σ^0_4$ครบถ้วน (หรือแค่$Σ^0_3$แข็ง) ของ$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$นั่นจะแก้ปัญหาได้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไร ที่.

ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขหากเราพบว่าลำดับของภาษา$L_i$นั้น
* $L_i$มีวิธีการตัดสินใจตามธรรมชาติ$O(n^{2+1/i})$ (เหมือนกันใน$i$ )
* L_iแต่ละอัน$L_i$จำกัด
* ไม่เพียง แต่มีขนาดของ$L_i$ undecidable แต่อัลกอริทึมไม่สามารถ$w∈L_i$ได้เร็วกว่า$O(n^{2+1/i})$ (สำหรับกรณีที่แย่ที่สุด$w$ ) ยกเว้นสำหรับ$i$ (ขึ้นอยู่กับ อัลกอริทึม)

ฉันยังสงสัยด้วยว่ามีตัวอย่างที่น่าสนใจ / น่าสนใจหรือไม่ (สำหรับ$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε})) \setminus \mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$หรือความสัมพันธ์แบบอะนาล็อก)

นี่คือตัวอย่างตัวอย่างเช่นภาษาที่มีอัลกอริทึมO ( n 2 + ε ) (ใช้เครื่องมัลติทาสกิ้งทัวริง) สำหรับทุกε > 0แต่ไม่เหมือนกันในε : ยอมรับ0 k 1 m iff k > 0และk th ทัวริง เครื่องหยุดในเวลาน้อยกว่าm 2 + 1 / kขั้นตอนบนอินพุตว่าง สตริงอื่น ๆ ถูกปฏิเสธ$O(n^{2+ε})$$ε>0$$ε$
$0^k 1^m$$k>0$$k$$m^{2+1/k}$

สำหรับทุกεเราจะได้อัลกอริธึมO ( n 2 + ε )โดยการเข้ารหัสฮาร์ดโค้ดที่ไม่ทำให้มีขนาดเล็กพอเพียงและทำการจำลองส่วนที่เหลือ$ε$$O(n^{2+ε})$

ตอนนี้ให้พิจารณาเครื่องทัวริงMตัดสินใจเลือกภาษา$M$

ให้M ′ (บนอินพุตว่าง) เป็นการดำเนินการที่มีประสิทธิภาพต่อไปนี้: สำหรับnใน 1,2,4,8, ... :      ใช้Mเพื่อตัดสินใจว่าM ′หยุดใน< n 2 + 1 / M $M'$
$n$
$M$$M'$$<n^{2+1/M'}$ขั้นตอน .
     หยุดถ้า if Mบอกว่าเราไม่หยุด แต่เราสามารถหยุดได้ใน< n 2 + 1 / M ′ขั้นตอน$M$$<n^{2+1/M'}$

โดยความถูกต้องของM , M 'ไม่หยุด แต่Mใช้เวลาΩ ( n 2 + 1 / M ' ) -steps กับการป้อนข้อมูล0 M ' 1 n - M 'หลายอนันต์n (ถ้าMเป็นไปอย่างรวดเร็วเกินไปแล้วM 'จะขัดแย้งกับเอ็ม .$M$$M'$$M$$Ω(n^{2+1/M'})$$0^{M'} 1^{n-M'}$$n$$M$$M'$$M$ Ω ( n 2 + 1 / M ' )ผูกพันขึ้นอยู่กับเอ็ม$Ω(n^{2+1/M'})$$M'$การจำลองMในเวลาเชิงเส้นและอื่น ๆ ที่มีประสิทธิภาพ)$M$