BPP กับ P เป็นปัญหาจริงหรือไม่หลังจากที่เรารู้ว่า BPP อยู่ใน P / poly

เรารู้ (ตอนนี้ประมาณ 40 ปีขอบคุณ Adleman, Bennet และ Gill) ว่าการรวมBPP P / poly และการถือBPP / poly P / poly ที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น "การ / โพลี" หมายถึงว่าเราทำงานที่ไม่สม่ำเสมอ (วงจรที่แยกต่างหากสำหรับแต่ละระยะเวลาในการป้อนข้อมูล ) ในขณะที่Pโดยไม่ต้องคนนี้ "/ โพลี" หมายถึงเรามีหนึ่งเครื่องทัวริงสำหรับทุกความยาวการป้อนข้อมูลที่เป็นไปได้ , ได้นานกว่าการพูด = จำนวนวินาทีไปยัง "บิ๊กแบง" ถัดไป $\subseteq$ $\subseteq$ $n$ $n$ $n$

คำถามที่ 1: BPP = P (หรือ disproof) หลักฐานใหม่จะช่วยให้ความรู้ของเราหลังจากที่เรารู้จักBPP P / poly $\subseteq$

ภายใต้ "ใหม่" ฉันหมายถึงผลที่น่าประหลาดใจเช่นการยุบ / แยกชั้นความซับซ้อนอื่น ๆ เปรียบเทียบสิ่งนี้กับผลที่ตามมาการพิสูจน์ / การป้องกันของNP P / โพลีจะส่งมอบ $\subseteq$

[ADDED 2017/08/10]: หนึ่งผลที่น่าแปลกใจจริงๆของBPP Pจะเป็นที่ที่แสดงโดยImpagliazzo และ Wigderson , ทั้งหมด (!) ปัญหาในการ E = DTIME จะมีวงจรขนาด )ขอบคุณ Ryan ที่จำผลลัพธ์นี้ได้ $\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$

คำถามที่ 2:ทำไมเราไม่สามารถพิสูจน์ BPP = P ตามบรรทัดที่คล้ายกันเป็นหลักฐานของBPP / poly P / poly ได้ $\subseteq$

สิ่งกีดขวาง "ชัดเจน" อย่างหนึ่งคือขอบเขต จำกัด กับปัญหาโดเมนไม่สิ้นสุด: วงจรบูลีนทำงานกับโดเมนจำกัดในขณะที่เครื่องทัวริงทำงานทั่วทั้งชุดของ - สตริงของความยาวใด ๆ ดังนั้นเพื่อแยกแยะวงจรบูลีนที่น่าจะเป็นไปได้มันก็เพียงพอที่จะใช้สำเนาส่วนใหญ่ของวงจรที่น่าจะเป็นไปได้และใช้ความไม่เท่าเทียมของเชอร์คอฟพร้อมกับสหภาพที่ถูกผูกไว้ แน่นอนว่าสำหรับโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุดกฎส่วนใหญ่ง่ายๆนี้จะไม่ทำงาน $\{0,1\}^*$ $0$ $1$

แต่นี่เป็น "อุปสรรค" ที่แท้จริง (เป็นอนันต์) จริงหรือ จากการใช้ผลลัพธ์จากทฤษฎีการเรียนรู้เชิงสถิติ (มิติ VC) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า BPP / poly P / โพลียังมีวงจรสำหรับการทำงานบนโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นวงจรคณิตศาสตร์ (ทำงานกับจำนวนจริงทั้งหมด); ดูเช่นกระดาษของ Cucker นี้ที่อัล เมื่อใช้วิธีการที่คล้ายกันทั้งหมดที่เราต้องการคือการแสดงให้เห็นว่ามิติ VC ของเครื่องทัวริงแบบโพลีเวลาไม่สามารถมีขนาดใหญ่เกินไป มีใครเห็นความพยายามที่จะทำให้ขั้นตอนหลังนี้หรือไม่? $\subseteq$

หมายเหตุ [เพิ่ม 07.10.2017]: ในบริบทของ derandomization มิติ VC ของคลาส

ของฟังก์ชัน

ถูกกำหนดเป็นจำนวนสูงสุด

ซึ่งมีฟังก์ชัน

ใน

เช่น สำหรับทุก

มีจุด

กับ

F

$F$

f : X \to Y

$f:X\to Y$

v

$v$

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$

F

$F$

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$

IFF

นั่นคือเราไม่ได้แบ่งชุดของคะแนนผ่านฟังก์ชั่น แต่เป็นการตั้งค่าของฟังก์ชั่นผ่านคะแนน (คำจำกัดความที่เป็นผลลัพธ์สองประการของมิติข้อมูล VC สัมพันธ์กัน แต่มีการอธิบายแทน)

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$

i \in S

$i\in S$

ผล (ที่รู้จักกันบรรจบกันในเครื่องแบบน่าจะเป็น ) แล้วบ่งบอกถึงต่อไปนี้: ถ้าสำหรับแต่ละอินพุต , ฟังก์ชั่นเลือกสุ่ม (ภายใต้บางส่วนกระจายบน ) ตอบสนอง เพื่อคงแล้วสามารถคำนวณได้ในทุก $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ ปัจจัยการผลิตเป็นส่วนใหญ่ของบาง (คงที่) ฟังก์ชั่นจากFดูเช่นควันหลง 2 ในกระดาษ [สำหรับสิ่งนี้เพื่อให้มีเงื่อนไขบางอย่างที่สามารถวัดค่าได้เล็กน้อยบน ] $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นชุดของพหุนามทั้งหมดคำนวณโดยวงจรเลขคณิตของขนาดแล้วหลายชื่อทั้งหมดในมีระดับที่มากที่สุด sโดยการใช้ที่รู้จักกันในขอบเขตบนกับจำนวนของศูนย์รูปแบบของพหุนาม (ดูเช่นบทความนี้ ) หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่ามิติ VC ของคือ )นี่หมายถึงการรวมBPP / โพลี $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ P/ poly สำหรับวงจรเลขคณิต $\subseteq$

— Stasys
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับไตรมาสที่ 1: การพิสูจน์หักล้างจะแสดงวงจรขนาดเล็กที่น่าแปลกใจสำหรับทุกการแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นใน 2 ^ (O (n)) เวลาโดย Impagliazzo-Wigderson (ตามที่คุณอาจจะรู้?)

— ไรอันวิลเลียมส์

ฉันสับสนภายใน Q2 ดูเหมือนว่ามิติ VC ของโพลีเวลา TM นั้นไม่มีที่สิ้นสุด คือสำหรับการใด ๆ ขอบเขต

และใด ๆ

มีอยู่ TM polytime ที่ยอมรับองค์ประกอบของ

และปฏิเสธองค์ประกอบของ

สิ่งสำคัญคือ

มี จำกัด ดังนั้นข้อ จำกัด เรื่องเวลาจึงไม่เกี่ยวข้องโดยทั่วไป

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$

S \subseteq X

$S \subseteq X$

S

$S$

X ∖ S

$X \setminus S$

X

$X$

— Sasho Nikolov

Re Q2 การรวมไม่ได้เกี่ยวข้องกับคลาสความซับซ้อนและพลังการคำนวณเท่าไหร่ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องของจำนวนบิตสุ่มกับจำนวนคำแนะนำดังนั้นฉันไม่คิดว่ามันจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับธรรมชาติ ของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ

— Kaveh

@Kaveh: คำแนะนำ "จำนวนบิตสุ่มเทียบกับจำนวนคำแนะนำ" มีค่าที่จะคิด! แต่ในใจ (คนธรรมดา) ของฉันแม้ในคำถามเช่น P vs. NP เราไม่สนใจเกี่ยวกับการสร้าง "ชัดเจน" ของ TM (ชุด) คำถามดังกล่าวถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น แน่นอนการก่อสร้างเป็นหลักฐาน "ไม่มีข้อสงสัย" ของการดำรงอยู่ แต่อาจมีหลักฐานโดยตรงน้อยกว่าเช่นกัน ดังนั้นสิ่งต่าง ๆ จึงลดลงเพื่อขยาย "การดำรงอยู่สำหรับแต่ละ

" เพื่อแสดง "ดำรงอยู่สำหรับ

ทั้งหมด" นั่นคือ

เพื่อ

∀

n

$n$

n

$n$

\forall \exists

$\forall\exists$

\exists \forall

$\exists\forall$

— Stasys

แม้ว่าคุณจะกำหนดเวลาทำงาน VC-dim จะไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งที่คุณหวังว่าจะสามารถทำคือการผูกพัน VC-สลัวของเวลา

กระโดดหน่วยความจำที่ทำงานบนขนาดอินพุตn

แต่ถ้าคุณคิดถึงการโต้แย้งคุณจะต้องใช้ TM ส่วนใหญ่ที่อาจแตกต่างกันสำหรับ

ทุก ๆ:

T

$T$

n

$n$

n

$n$

— Sasho Nikolov

ไม่แน่ใจว่าคำตอบนี้มากแค่ไหนฉันก็แค่ดื่มด่ำกับข่าวลือ

คำถามที่ 1 อาจถูกถามอย่างเท่าเทียมกันเกี่ยวกับ P NP และด้วยคำตอบที่คล้ายกัน - เทคนิค / ความคิดที่ใช้ในการพิสูจน์ผลลัพธ์จะเป็นความก้าวหน้าครั้งยิ่งใหญ่มากกว่าข้อสรุป $\neq$

สำหรับคำถามที่ 2 ฉันต้องการแบ่งปันภูมิหลังและความคิด เทคนิคและความคิดทั้งหมดที่เรามีสำหรับ BPP = P เท่าที่ฉันทราบให้ใช้วิธี "derandomization": เมื่อพิจารณาถึงความน่าจะเป็น polytime Turing Machine สร้าง PRG เพื่อป้อนบิตที่เลือกแบบกำหนดเองแทนการสุ่ม คนนั้นพฤติกรรมของมันจะคล้ายกับพฤติกรรมของมันในบิตสุ่มอย่างแท้จริง ด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกที่ดีพอเราได้รับ BPP = P ("World of BPP = P" ของ Goldreich ให้หลักฐานว่าการพิสูจน์ใด ๆ ของ BPP = P ต้องถือเอาสิ่งนี้)

นี้สวยมากตามสายของตำรวจตระเวนชายแดน $\subseteq$ P / โพลียกเว้นมีการ PRG คือสตริงคำแนะนำซึ่งผลิตโดยมายากล บางทีคำตอบที่ดีที่สุดสำหรับคำถามที่ 2 ของคุณคือในพีเราไม่มีเวทย์มนตร์และต้องคิดคำแนะนำเอง Derandomization เป็นแนวคิดที่อยู่เบื้องหลังผลลัพธ์ SL = L 2004 โดยใช้เครื่องมือเช่นกราฟตัวขยาย

ตอนนี้ให้พิจารณาว่าการพิสูจน์ดังกล่าวจะหมายถึงอัลกอริทึมเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งหรือไม่การทดสอบขั้นต้นของ Miller-Rabin มันจะแสดงการมีอยู่ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่กำหนดค่าบางอย่างที่เลือกลำดับของจำนวนเต็มเพื่อป้อนเข้าสู่การทดสอบแบบดั้งเดิมของ Miller-Rabin เช่นนั้นถ้าเพียง แต่ถ้าจำนวนเต็มทั้งหมดผ่านไปแล้วหมายเลขเดิมจะเป็นจำนวนเฉพาะ

ตามที่ฉันเข้าใจ (แม้ว่าฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ) คำถามที่ว่ารายการดังกล่าวมีอยู่หรือไม่และมีจำนวนน้อยแค่ไหนในนั้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันเพียงพอที่จะตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ด้านล่าง) ดูเหมือนคำถามใน ทฤษฎีจำนวนและมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับรูปแบบการพิสูจน์ของสมมติฐาน Riemann ทั่วไป ดูคำถามนี้ ฉันไม่คิดว่าจะมีความหมายอย่างเป็นทางการที่นี่ แต่ดูเหมือนจะไม่เป็นสิ่งที่เราคาดหวังว่าจะได้รับในสัปดาห์หน้าเนื่องจากข้อสรุปเล็ก ๆ โดยบังเอิญของการก่อสร้าง PRG ทั่วไป

— usul
แหล่งที่มา

ความคิดที่น่าสนใจ! บทความของ Oded ชี้ให้เห็นว่า Q2 ช่วยลด "การมีอยู่กับการก่อสร้าง" ของ PRG ได้อย่างแน่นอน ในการทำให้กระจัดกระจายผ่านมิติ VC ด้านอัลกอริทึมจะถูกละเว้นทั้งหมด

— Stasys

ขอบคุณทุกคน (Kaveh, Ricky, Ryan, Sasho และ "usul"): ฉันได้เรียนรู้อะไรมากมายจากความคิดเห็นของคุณ "ความสม่ำเสมอ" ไม่เคยมีปัญหาในชีวิตของฉันดังนั้นความไร้เดียงสาของคำถามของฉัน ฉันยอมรับคำตอบของ "usul" เสริมด้วยคำพูดที่น่าสนใจของ Kaveh, Ricky, Ryan และ Sasho นี่ตอบคำถามทั้งสองของฉัน

— Stasys