สำหรับกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic สองอันใดมีสูตร polysize, polylog quantifier depth อันดับแรกที่เห็นสิ่งนี้หรือไม่?

ฉันต้องการที่จะเฉพาะเจาะจงมาก มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์หรือข้อพิสูจน์ต่อไปนี้:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

โดยสังเขปนี่ควรเป็นจริงถ้ากราฟที่ไม่ใช่ isomorphic ทั้งหมดสามารถแยกแยะได้โดยใช้คำสั่ง " $Clog(n)^k$ local" และฉันคิดว่านี่เป็นเท็จ แน่นอนว่ากราฟใด ๆ สามารถแยกความแตกต่างได้โดยใช้ความลึกของพหุนามพหุนามเนื่องจากคุณสามารถระบุโมดูโลกราฟมอดูโลของคุณได้:

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

แก้ไข:ดังนั้นดูเหมือนว่าสัญชาตญาณท้องถิ่นที่ฉันมีเป็นเท็จ สูตรของ quantifier depth $k$มีย่านท้องถิ่น Gaifman ล้อมรอบด้วย$O(3^k)$ซึ่งหมายความว่าสูตรความลึกของบันทึกนั้นเป็นสากล ด้วยเหตุนี้ฉันมีลางสังหรณ์ว่าข้อเสนอจะกลายเป็นจริงซึ่งจะเป็นการยากมากที่จะพิสูจน์ในความคิดของฉัน

ขอบคุณ Maxim Zhukovskii เพื่อนร่วมงานของฉันที่แนะนำคำตอบนี้

ปรากฎว่าคำตอบนั้นเป็นค่าลบและตัวอย่างที่ค่อนข้างง่าย เพียงใช้และสำหรับและและสำหรับ 1 (นี่เป็น -clique และคือชุดของจุดแยก) โดยพิจารณาจาก Ehrenfeucht เกมหนึ่งที่สามารถแสดงให้เห็นว่าในกรณีแรกที่ความลึกที่เป็นไปได้น้อยที่สุดคือและในกรณีที่สองมันเป็น 1$G=K_m\sqcup \overline{K_m}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$$n=2m$$G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$$n=2m+1$$K_s$$s$$\overline{K_s}$$s$$m$$m+1$

มันแสดงให้เห็นในกระดาษ"การกำหนดลำดับแรกของกราฟ: ขอบเขตบนสำหรับความลึกของปริมาณ"โดย Oleg Pikhurko, Helmut Veith และ Oleg Verbitsky ที่ขอบเขตนี้เกือบจะแน่นและกราฟ -vertex สองอันใดที่สามารถแยกแยะได้ด้วยสูตรความลึก{2}$n$$\frac{n+3}{2}$