มีความคิดเกี่ยวกับการคำนวณในเซตอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติหรือไม่?

มีความคิดเกี่ยวกับการคำนวณในเซตอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติหรือไม่? สำหรับประโยชน์ของอาร์กิวเมนต์สมมติว่าชุด$S$ biject กับN$\mathbb{N}$

มันดึงดูดให้พูดว่า "ใช่พวกเขาจะมีฟังก์ชั่นเหล่านั้นในรูปแบบ$g \circ f \circ g^{-1}$ที่$g$เป็น bijection ใด ๆ$\mathbb{N} \to S$และ$f$เป็นฟังก์ชันคำนวณใด ๆ$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ " ฉันระมัดระวังคำจำกัดความนี้ด้วยเหตุผลสองประการ

1. มันมีสิทธิพิเศษ$\mathbb{N}$มากกว่าชุดนับได้อื่น ๆ ทำไม$\mathbb{N}$พิเศษเมื่อต้องนิยามความสามารถในการคำนวณ ฉันต้องการคำจำกัดความของ "การประสานงานฟรี" ของการคำนวณโดยไม่มีการอ้างอิงถึงชุดสิทธิพิเศษใด ๆ ในลักษณะเดียวกับที่ฉันอาจต้องการคำจำกัดความ "ประสานงานฟรี" ของแนวคิดพีชคณิตเชิงเส้นโดยไม่มีการอ้างอิงถึงสิทธิพิเศษใด ๆ

2. มันก่อให้เกิดคำถามเกี่ยวกับทางเลือกของกรัม$g$ฉันสงสัยว่ามันอาจจะเป็นไปได้ที่จะพบความขัดแย้งโดยทางเลือกทางพยาธิวิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ$S$และG$g$ตัวอย่างเช่นถ้าฉันเลือก$S = \mathbb{N}$และ$g$ความนิยมที่ไม่คำนวณได้คือกรณีที่$g \circ f \circ g^{-1}$คำนวณได้สำหรับการคำนวณทั้งหมด$f$ ?

   มันล่อลวงให้ต้องการคำจำกัดความที่$g$คำนวณได้ แต่น่าเสียดายที่ขอทานคำถาม

มีวิธีการทั่วไปในการอธิบายความสามารถคำนวณได้ในชุดนับได้นอกเหนือจาก$\mathbb{N}$หรือไม่?

คำถามนี้ไม่ใช่ระดับการวิจัย แต่เนื่องจากได้รับคำตอบฉันจึงขอเสนอคำตอบที่อาจทำให้สิ่งต่าง ๆ กระจ่างแจ้งและให้การอ้างอิง

มีพื้นที่ทั้งหมดของวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีซึ่งศึกษาความสามารถคำนวณได้ในการวิเคราะห์พีชคณิตและโทโพโลยี สิ่งที่สำคัญที่สุดคือความคิดในการคำนวณสำหรับจำนวนจริง อันที่จริงเอกสารต้นฉบับของทัวริงในเครื่องทัวริงเริ่มต้นด้วยประโยคต่อไปนี้:

ตัวเลข "คำนวณ" อาจถูกอธิบายสั้น ๆ ว่าเป็นจำนวนจริงที่มีนิพจน์เป็นทศนิยมสามารถคำนวณได้โดยวิธี จำกัด

บางครั้งก็จ่ายเงินเพื่อกลับไปที่แหล่งที่มา

มีหลายวิธีในการตั้งค่าความสามารถในการคำนวณในเซตทั่วไปซึ่งหนึ่งในวิธีทั่วไปที่สุดคือทฤษฎีความสามารถในการหาค่าได้ แนวคิดของทฤษฎี realizability กลับไปที่กระดาษของ Kleene ในการตีความทฤษฎี Intuitionistic Numberจากปี 1945 แต่ตั้งแต่นั้นมาได้รับการพัฒนาและกลายเป็นสาขาย่อยของการคำนวณด้วยการผสมผสานของหมวดหมู่ทฤษฎีที่ดีดูตัวอย่างของ Jaap van Oosten "Realizability: การแนะนำด้านเด็ดขาด" (การศึกษาในตรรกะและรากฐานของคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 152, Elsevier, 2008)

ให้ฉันอธิบายแนวคิดของ realizability สั้น ๆ และหารือเกี่ยวกับความต้องการ "ประสานงานฟรี" ของคุณในภายหลัง เริ่มต้นด้วยรูปแบบของการคำนวณเช่นเครื่องทัวริงที่$\lambda$แคลคูลัส, การเขียนโปรแกรมภาษาหรืออื่น ๆพีชคณิต combinatory บางส่วน (คุณยังสามารถใช้ช่องว่าง topological บางอย่างที่จะเป็น "รูปแบบของการคำนวณ" สิ่งนี้เป็นทั่วไป ) เพื่อความเป็นรูปธรรมให้เราพิจารณาเครื่องจักรทัวริง เราเขียนรหัสเครื่องจักรทัวริงโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติ แต่โปรดทราบว่าฉันสามารถใช้รูปแบบการคำนวณอื่น ๆ ได้ดังนั้นคุณไม่ควรคิดว่าการใช้$\mathbb{N}$เป็นวิธีที่จำเป็นในที่นี้ (ความเป็นไปได้อื่น ๆ ได้แก่ : powerset ของจำนวนธรรมชาติ, ลำดับอนันต์ของตัวเลขธรรมชาติ, ไวยากรณ์ของ untyped$\lambda$แคลคูลัส, บางประเภทของเกมอื่น ๆ )

$X$$\Vdash_X$$\mathbb{N}$$X$x ∈ X n ∈ N n ⊩ X x n x ∈ X$x \in X$$n \in \mathbb{N}$$n \Vdash_X x$$n$$x \in X$

ให้สองชุดและ , แผนที่ถูกรับรู้ (หรือ "คำนวณ") ถ้ามีเครื่องทัวริงเช่นนั้นเมื่อใดก็ตามที่แล้วสิ้นสุดและ(x) อีกครั้งนี่คือการทับศัพท์โดยตรงของความหมายอย่างไม่เป็นทางการกับ "โปรแกรม" ฟังก์ชั่นนามธรรม : เครื่องทัวริงที่สอดคล้องกันทำหน้าที่แทนข้อมูลอะไรก็ตามที่ทำกับองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน$(X, {\Vdash_X})$$(Y, {\Vdash_Y})$$f : X \to Y$T n ⊩ X x T ( n ) T ( n ) ⊩ Y f ( x ) f f$T$$n \Vdash_X x$$T(n)$$T(n) \Vdash_Y f(x)$$f$$f$

ประกอบอาจจะขยายไปยังtopos เข้าใจได้ Topos เป็นรูปแบบของคณิตศาสตร์ที่มีความซับซ้อนสูง สิ่งนี้บอกเราว่าโทโพล realizability ทุกอัน (มีหนึ่งสำหรับแต่ละรุ่นของการคำนวณ) มีวัตถุที่น่าสนใจมากมาย ตัวอย่างเช่นมันมีวัตถุของจำนวนจริงซึ่งทำให้เราสามารถคำนวณได้จริง แต่มันยังมีวัตถุอื่น ๆ อีกมากมายเช่นช่องว่างของฮิลแบร์ตช่องว่าง Banach ช่องว่างของแผนที่ที่ราบรื่น ฯลฯ คุณถามถึงโครงสร้างที่คำนวณได้อื่น ๆ แต่คุณได้สิ่งที่ดีกว่ามาก: โลกคณิตศาสตร์ทั้งหมด

เนื่องจากทฤษฎีหมวดหมู่และ toposes อาจน่ากลัวและต้องการความเชี่ยวชาญด้านเทคนิคจำนวนหนึ่งในทฤษฎีการคำนวณทฤษฎีหมวดหมู่และตรรกะเราจึงสามารถทำงานใน topos คอนกรีตเพียงหนึ่ง แต่เราแสดงทุกอย่างในรูปแบบที่ไม่ใช่นามธรรม โลกแห่งการคำนวณที่ดีโดยเฉพาะนั้นเกิดขึ้นจากความสามารถในการทำงานของ Kleene และอยู่ภายใต้ชื่อการวิเคราะห์ที่คำนวณได้

ให้ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความต้องการ "ประสานงานฟรี":

• การสลับระหว่างแบบจำลองการคำนวณทำให้โลกมีชนิดต่าง ๆ ที่คำนวณได้ มันเหมือนกับการสลับไปมาระหว่างสาขาต่าง ๆ ที่ให้พีชคณิตเชิงเส้นชนิดต่าง ๆ

• ชุดอาจมีโครงสร้างการคำนวณจำนวนมากเช่นเดียวกับชุดของเวกเตอร์ที่มีหลายฐาน อย่างไรก็ตามในขณะที่ฐานทั้งหมดเทียบเท่าโครงสร้างโครงสร้างการคำนวณบนทั้งหมดไม่เท่ากัน$X$⊩ X X$\Vdash_X$$X$

• ถ้าเราทำงานอย่างเป็นรูปธรรมด้วยโครงสร้างการคำนวณนั่นก็เหมือนกับการทำงานกับเมทริกซ์ในพีชคณิตเชิงเส้น มันมีประโยชน์มาก แต่ไม่เป็นนามธรรม$(X, {\Vdash_X})$

• ในการทำงานในรูปแบบที่ "ปราศจากการประสานงาน" เราทำงานใน topizability ที่เป็นไปได้และควบคุมพลังของทฤษฎีหมวดหมู่ (ใช่มันเป็นความคิดโบราณ แต่มันใช้งานได้)

• เรายังสามารถทำงานในแบบที่“ ปราศจากโลก” ได้ด้วย: พัฒนาคณิตศาสตร์ในเชิงตรรกะปรีชาและจากนั้นตีความผลลัพธ์ในการทำให้เป็นจริง

เอกสารสองฉบับด้านล่างนี้พัฒนาความคิดในการคำนวณสำหรับเซตที่กำหนดเอง ที่น่าสนใจแม้แต่แนวคิดเรื่องทฤษฎีความซับซ้อนก็สามารถกำหนดได้สำหรับการคำนวณแบบนี้

ฟังก์ชั่นการตั้งคอบซ้ำของคอบและทฤษฎีเซตอ่อนแออาร์โนลด์เบ็คมันน์แซมบูสส์ฟรีดแมน Sy-David, Moritz Müller, Neil Thapen

การสืบค้นแบบแบ่งกลุ่มย่อยและแบบจำลองวงจรสำหรับฟังก์ชันการตั้งค่าแบบคอบซ้ำของอาร์โนลด์เบ็คมันน์แซมบูสส์, ฟรีดแมน Sy-David, Moritz Müller, Neil Thapen

มีแนวคิดของความซับซ้อนและการคำนวณเหนือ reals หนังสือเรียนที่ฉันอยากบอกคุณคือ: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/0387982817

ฉันรู้หนึ่งห้องปฏิบัติการที่ศึกษาสิ่งนี้โดยเฉพาะ: https://complexity.kaist.ac.kr/

สิ่งนี้คล้ายกับวิธีที่เรากำหนดความสามารถในการคำนวณในแง่ของเครื่องทัวริงแล้วลืมเครื่องทัวริงทันที เนื่องจากปรากฎว่าเครื่องจักรทัวริงเป็นคำจำกัดความที่ดีเหมือนกันเราจึงใช้มันเป็นจุดยึดสำหรับคลาสความเท่าเทียมกันทั้งหมดของแบบจำลองและเราสิ้นสุดด้วยคลาสเดียวกันไม่ว่าองค์ประกอบใดที่เราสร้างขึ้น โดยทั่วไปนี่คือวิทยานิพนธ์ทัวริสต์ของโบสถ์และกำหนดชุดของสตริงบิตที่คำนวณได้

ในทำนองเดียวกันการกำหนดคำนวณในชุดที่แตกต่างเรายึดมันด้วยฟังก์ชั่นบางส่วนโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากสตริงบิตSที่จริงแล้วมันไม่สำคัญว่าฟังก์ชั่นนี้จะเป็นแบบ biitting หรือแบบฉีดหรือฟังก์ชันประเภทอื่น ๆ (สำหรับกรณีที่เราไม่ต้องการให้มันเป็นการฉีดจริงๆให้พิจารณากลุ่มที่กำหนดโดยการนำเสนอที่เราไม่มี ตัวแทนที่เป็นเอกลักษณ์สำหรับองค์ประกอบ) มันไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องที่น่ารังเกียจถ้าเราอนุญาตให้เซตเดี่ยวสามารถไม่สามารถคำนวณได้ โดยการเขียนฟังก์ชั่นนี้ด้วย bijection ใด ๆ ที่คำนวณได้จากสายบิตไปยังบิตสตริง (แนวคิดที่กำหนดไว้แล้ว) เราได้คำจำกัดความของการคำนวณสำหรับS S $S$$S$$S$นั่นคือค่าคงที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่เราเลือก (แต่ตราบใดที่เราเลือกบางอย่างที่สมเหตุสมผล) นั่นคือวิทยานิพนธ์ CT สำหรับชุดของเราSแต่ถ้าเราไม่เลือกฟังก์ชันที่สมเหตุสมผลเราจะได้คำจำกัดความของความสามารถในการคำนวณที่แตกต่างกัน$S$

ฟังก์ชั่นนี้ยังทำหน้าที่ในการกำหนดการคำนวณของฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่มีโดเมนหรือช่วงเท่ากับSโดยการเปลี่ยนช่วงที่จะทำให้โดเมนเป็นเรายังได้รับการความหมายของความซับซ้อน -invariant Kolmogorov สำหรับSและในที่สุดเราก็สามารถพูดได้ว่าฟังก์ชั่นที่เราเลือกนั้นคำนวณได้เองS { 0 , 1 } * O ( 1 ) $S$$S$$\{0,1\}^*$$O(1)$$S$

ดังนั้นฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือไม่ เราต้องกำหนดความสามารถในการคำนวณสำหรับแต่ละชุดที่เราต้องการพูดถึงเพราะมีคำจำกัดความที่ไม่เทียบเท่า นอกเหนือจากการอภิปรายทางเทคนิคหรือการสอนอย่างมากแล้วก็ไม่จำเป็นเพราะบุคคลที่มีเหตุผลสามารถจินตนาการถึงคำจำกัดความที่สมเหตุสมผลได้อย่างอิสระ

แต่รอให้เป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด ความหมายที่สมเหตุสมผลของเราในการคำนวณสำหรับคืออะไร? การรู้ว่าชุด bijections ระหว่างและไม่ว่างเปล่าไม่ได้บอกเราว่าอะไรเหมาะสม เราไม่มีโชคโดยไม่มีรายละเอียดเพิ่มเติมS S { 0 , 1 } $S$$S$$S$$\{0,1\}^*$

และเราอาจพบทางเลือกที่ไม่เท่ากัน แต่มีเหตุผลพอ ๆ กัน สมมติว่าต้นไม้ทุกต้นมีใบสีแดงจำนวนหนึ่งและใบสีเขียวจำนวนหนึ่งและสำหรับทุกมีต้นไม้หนึ่งต้นที่มีใบสีแดงและสำหรับทุกมีต้นไม้หนึ่งต้นที่มีใบสีเขียวbijections ทั้งสองนั้นสมเหตุสมผลในแง่ที่ว่าเราสามารถนับใบและแยกแยะสีและเราสามารถเดินไปรอบ ๆ ป่าอย่างไร้จุดหมายนับใบไม้บนต้นไม้จนกว่าเราจะพบต้นไม้ที่มีใบไม้สีเขียวใบหรือ r g ∈ N g 23 23 N 2 N N 2 $r \in \mathbb{N}$$r$$g \in \mathbb{N}$$g$$23$$23$ใบสีแดง ยังไม่ชัดเจนว่าจะระบุต้นไม้โดยใช้การนับใบสีแดงหรือการนับใบสีเขียวเพราะตัวเลือกนี้นำไปสู่คำจำกัดความของการคำนวณความไม่เท่าเทียมกันสำหรับชุดของต้นไม้ ถ้าเราให้คำจำกัดความของเราด้วยการรวมจำนวนกับฟังก์ชั่นการจับคู่ที่คำนวณได้จากถึง (มีการคำนวณที่เหมาะสมอย่างเหมาะสมใน ) ที่ระบุเอกลักษณ์แต่ละรายการ tree แต่สถานการณ์ยิ่งแย่ลงเพราะนี่ไม่ใช่ bijection ระหว่างต้นไม้และตอนนี้บางทีชุดต้นไม้ที่คำนวณได้ทั้งหมดนั้นมี จำกัด !$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$

ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการอภิปรายทั้งหมดควรเข้าใจไม่เพียง แต่มีความหมายที่สมเหตุสมผลของความสามารถในการคำนวณในชุดคำถาม แต่ยังมีคำจำกัดความที่สมเหตุสมผลหนึ่งระดับ

ฉันคิดว่าสถานการณ์น่าสนใจมากขึ้นถ้าเรานำความซับซ้อนของเวลามาไว้ในภาพ แม้เพียงแค่พิจารณาจำนวนเต็มตัวเลือกของเรามีความสำคัญมากกว่า ตัวอย่างเช่นถ้าเราต้องการแสดงตัวเลขแต่ละตัวเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม เราสามารถค้นหาการแสดงดังกล่าวเริ่มต้นจากการเป็นตัวแทนพื้นฐานในเวลากำลังสองที่คาดหวังด้วยการเข้าถึงแบบสุ่ม หรือแทนเป็นรายการของปัจจัยสำคัญซึ่งอาจหรือไม่อาจคำนวณในเวลาพหุนาม เท่าที่เราอนุญาตให้นำเสนอได้ยากเราจะสูญเสียความแม่นยำในเวลาที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นเราไม่สามารถพูดได้อย่างมีความหมายว่าบางฟังก์ชั่นสามารถคำนวณได้ในกำลังสองหากเรามีตัวแทนN F : N → $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$\mathbb{N}$ที่อาจต้องใช้เวลามากกว่ากำลังสองในการแปลงเป็นหรือจากการเป็นตัวแทนฐาน ฉันคิดว่ามุมมองนี้แสดงให้เห็นว่าการเป็นตัวแทนฐานเป็นมาตรฐานโดยพลการ (มาตรฐานในแง่ที่ว่าการเป็นตัวแทนฐานคือสิ่งที่ทุกคนมีอยู่ในใจเมื่อพวกเขาพูดอะไรบางอย่างเช่น "สามารถคำนวณได้ในกำลังสอง" ถ้าแบบจำลองพื้นฐานคือสิ่งที่คำนวณบิต สตริงจากบิตสตริงและเราควรสรุปความหมาย)$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$