ในหนังสือ Hott รูปแบบตัวพิมพ์ส่วนใหญ่ซ้ำซ้อนกันหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้นทำไม

ในบทที่ 1 และภาคผนวก A ของหนังสือ Hottจะมีการนำเสนอตระกูลดั้งเดิมหลายประเภท (ประเภทจักรวาล, ประเภทของฟังก์ชันที่ต้องพึ่งพา, ชนิดคู่ที่ขึ้นต่อกัน, ประเภทของ Coproduct, ประเภทที่ว่างเปล่า, ประเภทหน่วย, ชนิดของธรรมชาติ, และชนิดเอกลักษณ์) สำหรับทฤษฎีประเภท Homotopy

อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะมีประเภทจักรวาลและประเภทฟังก์ชั่นที่พึ่งพาคุณสามารถสร้างประเภท "ดั้งเดิม" อื่น ๆ เหล่านี้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นประเภท Empty สามารถกำหนดแทน

ΠT:U.T

ฉันคิดว่าประเภทอื่น ๆ ก็สามารถสร้างได้คล้ายกับที่พวกเขาอยู่ในCC บริสุทธิ์ (เช่นเพิ่งได้รับประเภทจากส่วนอุปนัยของคำนิยาม)

หลายประเภทเหล่านี้มีการทำซ้ำซ้อนอย่างชัดเจนโดยประเภทอุปนัย / W ที่ได้รับการแนะนำในบทที่ 5 และ 6 แต่ประเภทอุปนัย / W ดูเหมือนจะเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเนื่องจากมีคำถามเปิดเกี่ยวกับวิธีที่พวกเขาโต้ตอบกับ HoTT (ที่ อย่างน้อยตอนที่หนังสือออกมา)

ดังนั้นฉันจึงสับสนมากเกี่ยวกับสาเหตุที่แสดงประเภทเพิ่มเติมเหล่านี้เป็นแบบดั้งเดิม ปรีชาญาณของฉันคือทฤษฎีพื้นฐานควรมีน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และการนิยามประเภท Empty ที่ซ้ำซ้อนเป็นแบบดั้งเดิมในทฤษฎีดูเหมือนว่าจะเป็นกฎเกณฑ์มาก

เป็นตัวเลือกนี้ทำ

สำหรับเหตุผลบางอย่างเกี่ยวกับ metatheoretic ที่ฉันไม่รู้?
ด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์การทำให้ทฤษฎีประเภทดูเหมือนทฤษฎีที่ผ่านมา (ซึ่งไม่จำเป็นต้องพยายามเป็นพื้นฐาน)?
สำหรับ "การใช้งาน" ของส่วนต่อประสานคอมพิวเตอร์?
เพื่อประโยชน์ในการค้นหาหลักฐานที่ฉันไม่รู้จัก?

คล้ายกับ: สเปคน้อยที่สุดประเภททฤษฎีมาร์ตินLöf , /cs/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-encodings/82891#82891

type-theory dependent-type homotopy-type-theory

— user833970
แหล่งที่มา

พวกเขาซ้ำซ้อน แต่ไม่ใช่ในแบบที่คุณแนะนำ คุณควรถามตัวเองว่า "การทำให้น้อยที่สุดของรากฐาน" มีจุดประสงค์อะไร และเราสนใจเกี่ยวกับวัตถุประสงค์หรือไม่

— Andrej Bauer

ฉันถือว่างานทางเทคนิคมีน้อยมากตามแบบแผนซึ่งสิ่งต่าง ๆ ไม่จำเป็นต้องน้อยที่สุดถ้าสะดวกและชัดแจ้งเป็นอย่างอื่น หนังสือเล่มนี้ยังยึดติดกับสิ่งนี้ในสถานที่อื่น ๆ เช่นเมื่อมันกำหนดประเภทการตัด (กำหนดโดยกฎ แต่ไม่น้อยที่สุดอย่างชัดเจน) ตัวอย่างเช่นถ้าฉันเห็น nats ที่นิยามไว้ในรูปของ 0,1,10 ตัวตายตัวแทนและการใช้พลังงานฉันจะสับสน แต่อย่างน้อยฉันก็สามารถดูได้ว่าทำไมมันถึงไม่สะดวก Hott เป็นพื้นที่การศึกษาที่ซับซ้อนมากขึ้นและฉันต้องการที่จะรู้ว่าฉันไม่มีอะไรที่ชัดเจน

— user833970

ฉันสนใจที่จะฟังว่าพวกเขาจะเป็นอันตรายได้อย่างไร ฉันควรตั้งคำถามใหม่เกี่ยวกับเรื่องนั้นหรือไม่?

— user833970

@ AndrejBauer ฉันต้องการทราบว่าทำไมพวกเขาถึงได้เป็นอันตรายเช่นกัน การให้เหตุผลของฉันที่จะเชื่อว่าภาษาพื้นฐานควรมีค่าน้อยที่สุดคือเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังการโกนของ Occam มันมีความซับซ้อนที่ไม่ยุติธรรมเพิ่มขึ้น หยุดที่นั่นทำไม ทำไมไม่เพิ่มรายการสตริงคู่สายอเนกประสงค์เวกเตอร์อีกด้วย สิ่งเหล่านั้นดูเหมือนว่าจะเป็นทางเลือกที่เหมาะสม แก้ไข: ฉันเพิ่งสังเกตเห็นคำถามนี้มีคำตอบ; แต่ฉันจะแสดงความคิดเห็นนี้ที่นี่เพียงเพื่อสังเกตว่าทำไมฉันจึงสนใจเช่นกัน

— MaiaVictor

ฉันจะเขียนโพสต์บล็อก

— Andrej Bauer

คำตอบ:

ให้ฉันอธิบายว่าทำไมการเข้ารหัสที่แนะนำของชนิดที่ว่างเปล่าไม่ทำงาน เราจำเป็นต้องมีความชัดเจนเกี่ยวกับระดับจักรวาลและไม่ควรกวาดมันไว้ใต้พรม

เมื่อมีคนพูดว่า "ประเภทที่ว่างเปล่า" พวกเขาอาจหมายถึงหนึ่งในสองสิ่ง:

เดียวประเภทซึ่งเป็นที่ว่างเปล่าด้วยความเคารพกับทุกประเภท เช่นประเภทมีกฎการกำจัด: ทุกและประเภทครอบครัวมีแผนที่ $E$ $n$ $A : E \to U_n$ $e_{n,A} : E \to A$
ตระกูลประเภทหนึ่งสำหรับแต่ละระดับจักรวาลเช่นคือ "ชนิดที่ว่างเปล่าของ " เช่นชนิดมีเพื่อตอบสนองเห็นได้ชัดและยัง: ทุกประเภทครอบครัวมีแผนที่ $E_k$ $k$ $E_k$ $U_k$ $E_k : U_k$ $A : E_{k} \to U_k$ $e_{k,A} : E_{k} \to A$

ไม่มีข้อพิสูจน์ใด ๆ เมื่อผู้คนพูดว่า "ประเภทที่ว่างเปล่า" พวกเขาคาดหวังความหมายแรกข้างต้น

เราจะได้ได้อย่างไร ความพยายามครั้งแรกอาจเป็นอะไรที่เหมือนกับ $E$ แต่นี่เป็นประเภทกวาดใต้พรมที่สร้างความสับสน เราจะต้องเขียนระดับจักรวาลที่ชัดเจน ถ้าเราเขียนบางอย่างเช่น

E = Π (T : U) . T

$E = \Pi (T : U) \,.\, T$

แล้วเราได้รับลำดับของประเภท

หนึ่งสำหรับแต่ละระดับk

เราอาจจะหวังว่าลำดับนี้เป็นชนิดที่ว่างเปล่าในความหมายข้างต้น แต่มันไม่ได้เป็นเพราะ

อยู่ใน

แต่มันก็ควรจะเป็นใน

E_{k} = Π (T : U_{k}) . T

$E_k = \Pi (T : U_k) \,.\, T$

E_{0}, E_{1}, E_{2}, \dots

$E_0, E_1, E_2, \ldots$

k

$k$

E_{k}

$E_k$

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

U_{k}

$U_k$

ความพยายามอีกอย่างคือ แต่ตอนนี้คุณต้องอธิบายว่า " " ควรเป็นอะไร คุณอาจถูกล่อลวงให้พูดว่ามีระดับของระดับจักรวาลดังนั้น

E = Π n . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi n \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

Π n

$\Pi n$

L

$L$

ตอนนี้คุณตกอยู่ในกับดักเพราะฉันจะถามว่า:

ใดในเอกภพที่อาศัยอยู่? และจักรวาลใดที่

อาศัยอยู่? สิ่งนี้จะไม่ทำงาน

E = Π (n : L) . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi (n : L) \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

E

$E$

L

$L$

มีวิธีที่เป็นที่รู้จักคือจักรวาล impredicative นี่คือเอกภพวิเศษซึ่งมีคุณสมบัติที่ให้ประเภทอาศัยอยู่ใน (ไม่ใช่ระดับเดียวจาก ) จากนั้นอย่างน้อยเป็นอีกครั้งในและจะมีตัวกำจัดที่คาดไว้ แต่เรายังไม่ได้ทำเพราะตอนนี้เราต้องกังวลเกี่ยวกับสมการสำหรับตัวกำจัดดังที่เนลชี้ให้เห็น $U$ $B : U \to U$ $\Pi (X : U) B(X)$ $U$ $U$ $\Pi (X : U) X$ $U$

สามารถจัดจักรวาลแห่งการเลียนแบบได้ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของ Thierry Coquand (ถ้าฉันไม่เข้าใจผิด) แสดงให้เห็นว่าการมีจักรวาลที่น่าอับอายสองจักรวาลอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง

คุณธรรมของเรื่องราวคือเพียงแค่เปลี่ยนประเภทว่างเปล่าโดยตรงและหยุดการเข้ารหัสสิ่งต่าง ๆ

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

นั่นเป็นเหตุผลที่น่าเชื่อถือที่จะทำให้เป็นจริงชนิดที่ว่างเปล่า แต่ฉันยังคงอยากรู้อยากเห็นเกี่ยวกับเหตุผลที่จะ axiomatize ทุกสิ่งที่หนักกว่านั้น

— MaiaVictor

@MaiaVictor: ตรงข้ามกับอะไร

— Andrej Bauer

ขออภัย? ฉันแค่หมายความว่าคุณให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลว่าทำไมจึงเป็นความคิดที่ดีที่จะเพิ่มจำนวนประเภทที่ว่างโดยเฉพาะ แต่ OP ยังถามเกี่ยวกับสิ่งอื่น ๆ : "ประเภทจักรวาล, ประเภทของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ, ชนิดของคู่ที่ขึ้นอยู่กับ, ประเภทของ Coproduct, ประเภทที่ว่างเปล่า, ประเภทของหน่วย, ชนิดของจำนวนธรรมชาติ, และประเภทของตัวตน" (ซึ่งฉันคิดว่า หนังสือ HoTT) (เห็นได้ชัดว่าฉันไม่ได้ขอให้คุณพิสูจน์สิ่งเหล่านั้นทั้งหมดเพียงแสดงความสนใจของฉัน)

— MaiaVictor

1 = \prod_{X : U} (X \to X)

$\mathbb{1} = \prod_{X : U} (X \to X)$

@IngoBlechschmidt อยากรู้อยากเห็นว่ามีปัญหาอะไรบ้าง! มันดูดีสำหรับฉัน ...

— MaiaVictor

คุณกำลังถามคำถามหลายข้อที่คล้ายกัน แต่แตกต่างกัน

เหตุใดหนังสือ HoTT จึงไม่ใช้การเข้ารหัสในโบสถ์สำหรับประเภทข้อมูล

การเข้ารหัสของคริสตจักรไม่ทำงานในทฤษฎีประเภท Martin-Löfด้วยเหตุผลสองประการ

$n$ $k < n$

ประการที่สองแม้ว่าคุณจะกำหนดประเภทข้อมูลเช่นจำนวนธรรมชาติด้วยการเข้ารหัสของโบสถ์เพื่อทำการพิสูจน์ด้วยประเภทเหล่านี้คุณต้องมีหลักการปฐมนิเทศเพื่อพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับพวกเขา เพื่อให้ได้มาซึ่งหลักการเข้ารับตำแหน่งสำหรับการเข้ารหัสของคริสตจักรคุณจำเป็นต้องใช้การโต้แย้งตามพารามิเตอร์ของเรย์โนลด์สและคำถามที่ว่าจะนำหลักการพาราเมทริกตี้ไปใช้ในทฤษฎีประเภทยังไม่ได้รับการตัดสินอย่างเต็มที่ (สถานะของศิลปะคือ Nuyts, Vezzosi และกระดาษ ICFP 2017 Devriese ของ Quantum Quantifiers สำหรับทฤษฎีประเภทพึ่งพา - โปรดทราบว่านี่เป็นเรื่องที่ดีหลังจากเขียนหนังสือ HoTT!)
ถัดไปคุณจะถามว่าทำไมรากฐานไม่น้อย นี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติทางสังคมวิทยาที่โดดเด่นของฐานรากประเภททฤษฎี - นักทฤษฎีประเภทเชื่อว่ามีกฎชุดเล็ก ๆ เป็นความสะดวกสบายทางเทคนิคโดยไม่มีความสำคัญเชิงพื้นฐานมากนัก มันสำคัญมากที่จะมีชุดของกฎที่ถูกต้องมากกว่าชุดของกฎที่เล็กที่สุด

เราพัฒนาทฤษฎีประเภทที่จะถูกนำมาใช้โดยนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์และมันสำคัญมากที่พิสูจน์แล้วเสร็จภายในประเภททฤษฎีนั้นเป็นคนที่นักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ถือว่าเป็นถูกทำในทางที่ถูก นี่เป็นเพราะนักคณิตศาสตร์โต้แย้งมักจะถือว่ามีสไตล์ที่ดีมักจะมีโครงสร้างโดยใช้หลักการพีชคณิตและเรขาคณิตที่สำคัญของโดเมนของการศึกษา หากคุณต้องใช้การเข้ารหัสที่ซับซ้อนโครงสร้างจำนวนมากจะสูญหายหรือถูกบดบัง

นี่คือเหตุผลที่แม้แต่การนำเสนอแบบเชิงทฤษฎีของตรรกะคลาสสิกเชิงประพจน์ให้การเชื่อมต่อทางตรรกะทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอแม้ว่ามันจะเทียบเท่ากับตรรกะอย่างเป็นทางการกับ NAND แน่นอนว่าการเชื่อมต่อบูลีนทั้งหมดสามารถเข้ารหัสด้วย NAND ได้ แต่การเข้ารหัสนั้นปิดบังโครงสร้างของตรรกะ

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบนี้! ฉันจะต้องอ่านบทความนั้น (และของคุณ) และมันอาจจะสมเหตุสมผลมากกว่า แต่ฉันคิดว่าลำดับชั้นของจักรวาลได้รับการออกแบบมาเพื่อให้ดูเหมือนว่าคุณสามารถทำสิ่งต่างๆได้เช่น: (λA: U.λa: Aa) (ΠA: UA → A) จะ desugar เป็น (λA: Un + 1.λa: AA) (เน€เธ: Un.A → A) ฉันคิดว่ามันเป็นตัวเลือกทางบรรณาธิการที่แปลกประหลาดที่จะไม่อธิบายสิ่งนี้หนังสือตรรกะทุกเล่มที่ฉันรู้จักชี้ให้เห็นถึงการเข้ารหัสที่น้อยที่สุดเช่น CNF, DNF, NAND และอื่น ๆ และใครก็ตามที่เคยใช้ทฤษฎีนี้ก็คาดหวังว่าการเข้ารหัสแบบ "ธรรมชาติ" ของนัทเพื่อแสดงให้เห็นถึงทฤษฎี แต่นั่นอาจเป็นอคติแบบดั้งเดิมของฉัน

— user833970

ที่ควรจะ "impredicative" ในความคิดเห็นสุดท้ายของฉัน

— user833970

\prod (T : U_{n}) . T

$\prod (T : U_n) . T$

U_{n}

$U_n$

U_{n + 1}

$U_{n+1}$

U_{n}

$U_n$

บางทีฉันอาจเข้าใจผิดเกี่ยวกับลำดับชั้นของจักรวาล ฉันคิดว่าเราไม่เคยสนใจว่าเอกภพประเภทใดที่อยู่ในนั้นเท่านั้นที่จะสามารถกำหนดหมายเลขจักรวาลได้เมื่อเราต้องการตรวจสอบหลักฐาน ดังนั้นเทคนิคΠT: UT จึงเป็นตระกูลประเภทที่จัดทำดัชนีมากกว่าจักรวาล เช่นเดียวกับอัตลักษณ์โพลีมอร์ฟิคคือตระกูลที่มีการจัดทำดัชนีมากกว่าจักรวาล แต่เราไม่มีปัญหาเดียวกันกับเอกลักษณ์ polymorphic หรือไม่ ฉันซาบซึ้งจริง ๆ ถ้าคุณสามารถขยายใน 2 ประโยคสุดท้ายฉันไม่คิดว่าฉันเข้าใจ

— user833970

เมื่อคุณพูดว่ามันไม่ได้มีคุณสมบัติการกำจัดที่ถูกต้องคุณหมายถึงว่าเมื่อจักรวาลได้รับการแก้ไขมีประเภทในจักรวาลที่สูงขึ้นที่ไม่สามารถสังเคราะห์ได้โดยตรงโดยคำของΠT: Un.T?

— user833970