ความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชัน Boolean สุ่มมีกลุ่ม automorphism เล็กน้อยคืออะไร

กำหนดฟังก์ชั่นแบบบูลเรามีกลุ่ม automorphism\}$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

มีขอบเขตที่รู้จักในหรือไม่ มีอะไรเป็นที่รู้จักกันในปริมาณของแบบฟอร์มสำหรับกลุ่มหรือไม่?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

ใช่. สำหรับคำถามแรกของคุณความน่าจะเป็นเป็นเลขทวีคูณแบบเร็วเป็นศูนย์ สามารถคำนวณได้ดังนี้ สำหรับการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งเราสามารถจำกัดความน่าจะเป็นที่ , นั่นคือสำหรับทั้งหมด . พิจารณาวงโคจรของทำหน้าที่เกี่ยวกับ n เรามีคือออโตมอร์ฟิซึ่มของ iffเป็นค่าคงที่บน -orbits ถ้าไม่น่าสนใจมันมีอย่างน้อยหนึ่งวงโคจรบนที่ไม่ใช่ซิงเกิลดังนั้นอย่างน้อยก็บนวงโคจรที่$\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$นั่นไม่ใช่ซิงเกิล สมมติว่าวงโคจรนั้นมีองค์ประกอบอยู่ในนั้น น่าจะเป็นที่เป็นค่าคงที่ในวงโคจรที่เป็นจึงแม่นยำ(k-1)} สมมติว่าการกับมีจุดคงที่ ,รอบความยาว 2, ฯลฯ (โดยเฉพาะ ) แล้วจำนวนจุดของแก้ไขโดยเป็นอย่างแม่นยำC_i} ทุกจุดที่เหลืออยู่ของอยู่ในวงโคจรของขี้ปะติ๋ว\ความน่าจะเป็นที่$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$$c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$$\pi \in Aut(f)$โปรดทราบว่าความเป็นไปได้ที่ดีที่สุดคือถ้าองค์ประกอบที่ไม่คงที่ของมาในวงโคจรขนาด 2 ดังนั้นเราจึงได้รับที่C_i} ขณะนี้เราต้องการที่ถูกผูกไว้ในที่ต่ำกว่าซึ่งหมายความว่าเราต้องการขอบเขตบนC_i ตั้งแต่ที่ใหญ่ที่สุดได้เมื่อและนั่นคือและดังนั้นและ{n-2}} ตอนนี้ใช้สหภาพที่ถูกผูกไว้:$\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$$\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$ดังนั้นซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นค่อนข้างเร็ว$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

สำหรับคุณสามารถใช้การให้เหตุผลที่คล้ายกัน แต่ความน่าจะเป็นจะเป็นศูนย์อย่างรวดเร็วเช่นกัน$G \leq S_n$