ความซับซ้อนของปัญหากราฟนี้คืออะไร?

ให้กราฟไม่ได้บอกทิศทางอย่างง่ายหาเซตย่อยของจุดยอดเช่นนั้น $G$ $A\neq \emptyset$

สำหรับจุดสุดยอดอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของเพื่อนบ้านของก็อยู่ใน , และ $x\in A$ $x$ $A$
ขนาดของนั้นน้อยที่สุด $A$

นั่นคือเรากำลังมองหากลุ่มซึ่งอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของพื้นที่ใกล้เคียงของจุดสุดยอดภายในทุกจุดยังคงอยู่ภายใน การดำรงอยู่ของกระจุกนั้นเป็นสิ่งที่ชัดเจนเนื่องจากจุดสุดยอดทั้งชุดมักจะมีคุณสมบัติ 1 แต่มันยากแค่ไหนที่จะหากลุ่มที่เล็กที่สุด (ไม่ว่างเปล่า)? $V(G)$

มีชื่อมาตรฐานสำหรับปัญหานี้หรือไม่? สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับความซับซ้อนของมัน?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าจะแตกต่างจากปัญหาพาร์ติชันที่น่าพอใจ ฉันไม่รู้ว่าตัวแปรของคุณเป็นที่รู้จักและได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็น NPC หรือไม่ แต่อาจลดลงจาก K-ก๊กควรทำงาน: เชื่อมโยงแต่ละโหนด

vi $v_i$ ของกราฟเดิม

k+1 $k+1$ โหนดของ

Ci $C_i$ "ก๊กภายนอก" ขนาด

2(k+1) $2(k+1)$ (แต่ละโหนดมีก๊กภายนอก) จากนั้นคุณจะพบชุด

A $A$ ของขนาด

k $k$ ถ้าหาก

k $k$ -clique มีอยู่ในกราฟดั้งเดิม (คุณต้องเลือกอย่างน้อยหนึ่งโหนด แต่คุณต้องหลีกเลี่ยงกลุ่มภายนอกใด ๆ ) แต่มันเป็นเพียงความคิด ถ้าฉันมีเวลามากพอฉันจะลองดูว่าการลดนั้นถูกต้องหรือไม่

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi ขอบคุณหลังจากการค้นหาฉันพบว่าพาร์ทิชันที่น่าพอใจปัญหาเกี่ยวข้องแน่นอน อย่างไรก็ตามในตัวแปรทุกตัวที่ฉันสามารถหาได้พวกเขามองหาพาร์ทิชัน แทนที่จะเป็นชุดเดียว ไม่ชัดเจนว่าเกี่ยวข้องกันอย่างไร ในการลดลงของคุณยกเว้นว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่าง

k $k$ -clique ของกราฟต้นฉบับไม่เป็นไปตามคำจำกัดความเนื่องจากแต่ละโหนดในนั้นจะมี

k−1 $k-1$ เพื่อนบ้านภายใน แต่อย่างน้อย

k+1 $k+1$ เพื่อนบ้านภายนอกเนื่องจากการเพิ่มภายนอก ชมรม

— Andras Farago

ฉันคิดว่าปัญหานี้เป็นที่รู้จักในนาม "พันธมิตรเพื่อการป้องกัน"

— daniello

@daniello: ยอดเยี่ยมฉันค้นหาในแบบสำรวจ IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, "การป้องกันพันธมิตรในกราฟ: แบบสำรวจ", 2013 แต่ไม่พบคำว่า "ครึ่ง" เมื่อฉันมีเวลาเพียงพอฉันจะอ่านอย่างระมัดระวัง อาจเป็นไปได้ว่าปัญหา OP เป็นที่รู้จักกันดี!

— Marzio De Biasi

ดูเหมือนว่าจะมีสูตรเป็น "จุดสุดยอดทุกคนมีเพื่อนบ้านอย่างน้อยหนึ่งข้างในข้างนอก" ซึ่งเหมือนกับในคำถามจนถึงการปัดเศษและอาจรวมถึง / ไม่รวมจุดยอดในการนับ

— daniello

นี่คือการลดจาก Clique ถึงปัญหาของคุณ

เราเริ่มต้นด้วยตัวอย่างของก๊กนี้: กราฟและจำนวนเต็มให้ } $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

Clique ยังคง NPC แม้ภายใต้ข้อ จำกัด ที่ (ภาพร่างหลักฐาน: ถ้าจากนั้นเพิ่มโดยที่ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ และเชื่อมต่อกับโหนดทั้งหมดของและขอกลุ่มขนาดในกราฟใหม่) $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

ดังนั้นเราจึงคิดว่าใน , )สำหรับแต่ละโหนดที่เราสร้างกลุ่ม "ภายนอก" ขนาด (ทุกโหนดของ $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ ก๊กมีอย่างน้อยเพื่อนบ้าน) $C_i$ $2(k+1)$

หากคือระดับของเราเชื่อมต่อไปโหนดฉัน $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

ในผลลัพธ์แต่ละมีระดับ ; ดังนั้นเนื่องจากต้องเลือกจุดสุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุด $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าหนึ่งในจุดสุดยอดของถูกรวมอยู่ในดังนั้นอย่างน้อยโหนดจะต้องถูกแทรกเข้าไปด้วย โปรดทราบว่าถ้าโหนดเดิมมีแล้วอย่างน้อยหนึ่งโหนดที่เชื่อมโยงจะต้องรวมที่นำไปสู่ . $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

ดังนั้นเราสามารถสร้างชุดขนาดต่ำสุดถ้าหากมีกลุ่มขนาดเท่านั้น $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

ตัวอย่างของการลดลงที่เราถามว่ากราฟแสดงโดยโหนดสีเหลืองและขอบตัวหนามีกลุ่มขนาด (สามเหลี่ยม) $G$ $k = 3$

โหนดสีฟ้า (จัดกลุ่มเพื่อให้สามารถอ่านได้ดีขึ้น) เป็นขอบสีแดงมีการเชื่อมโยงระหว่างโหนดของกับ ) $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

@ WillardZhan: เนื่องจากจุดสุดยอดของ

ทุกแห่งมีระดับ

โดยการก่อสร้างดังนั้นหาก

มีจุดสุดยอดหนึ่งจุดจะต้องมีอย่างน้อย

เพื่อนบ้าน (และเหมือนกัน นำไปใช้กับทุกจุดของ

) ดังนั้น

. ขนาด "ขั้นต่ำ"

สามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่เป็นก๊กขนาดk

G′ $G'$

≥2(k−1) $\geq 2(k-1)$

A $A$

2(k−1)/2=k−1 $2(k-1)/2 = k-1$

A $A$

|A|≥k $|A| \geq k$

k $k$

A $A$

k $k$

— Marzio De Biasi

@ WillardZhan: ฉันได้เพิ่มเงื่อนไขอื่นในปัญหาการเริ่มต้นของกลุ่ม (แต่ควรเป็น NPC) ... ฉันยังคงตรวจสอบอยู่ (ยังไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรือไม่)

— Marzio De Biasi

ใช่แล้วตอนนี้มันทำงานได้อย่างสมบูรณ์แบบ (แม้ว่ามันควรจะเป็น

ในการแสดงออกของ

) บางทีฉันจะลบความคิดเห็นของฉัน? k′ $k'$

t $t$

— Willard Zhan

@WillardZhan: I think it's correct, because in that paragraph I'm referring to the reduction from Clique [instance

(G,k) $(G,k)$ ] to Clique+constraint

max(deg(vi))≤2(k−1) $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ [instance

(G′,k′) $(G',k')$ ].

t $t$ is the number of the nodes (clique) to add to G to get the new instance of Clique that stastisfies the constraint.

— Marzio De Biasi