ความซับซ้อนของการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดในระนาบที่มีสิ่งกีดขวางรูปหลายเหลี่ยม

สมมติว่าเราได้รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปะติดปะต่อกันในระนาบและสองจุดและอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของยุคลิดคือการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของยุคลิดจากถึงที่ไม่ตัดกันภายในของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ สำหรับ concreteness ขอให้เราสมมติว่าพิกัดของและและพิกัดของจุดยอดรูปหลายเหลี่ยมทุกอันเป็นจำนวนเต็ม$s$$t$$s$$t$$s$$t$

สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ในเวลาพหุนามหรือไม่?

เครื่องวัดตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ส่วนใหญ่จะบอกว่าใช่แน่นอน: John Hershberger และ Subhash Suriอธิบายถึงอัลกอริทึมที่คำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean ในเวลาและเวลานี้เหมาะสมที่สุดในแบบจำลองการคำนวณเชิงพีชคณิต น่าเสียดายที่อัลกอริทึมของ Hershberger และ Suri (และอัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องเกือบทั้งหมดก่อนและหลัง) ดูเหมือนว่าจะต้องใช้เลขคณิตจริงที่แน่นอนในความหมายที่เข้มงวดดังต่อไปนี้$O(n\log n)$

โทรหารูปหลายเหลี่ยมที่ถูกต้องถ้าจุดภายในทั้งหมดเป็นจุดยอดของสิ่งกีดขวาง เส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean นั้นใช้ได้ ความยาวของเส้นทางที่ถูกต้องคือผลรวมของสแควร์รูทของจำนวนเต็ม ดังนั้นการเปรียบเทียบความยาวของสองเส้นทางที่ถูกต้องต้องเปรียบเทียบสองผลรวมของรากซึ่งเราไม่ทราบว่าจะทำอย่างไรในเวลาพหุนาม

ยิ่งไปกว่านั้นดูเหมือนว่าเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์ว่าปัญหาที่เกิดขึ้นโดยพลการของผลรวมของสแควร์รูทสามารถลดลงเป็นปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของยูคลิด

ดังนั้น: มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามในการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean หรือไม่? หรือเป็นปัญหา NP-hard? หรือsum-of-ตารางรากแข็ง ? หรืออย่างอื่น?

หมายเหตุเล็กน้อย:

• เส้นทางที่สั้นที่สุดใน (หรือนอก) รูปหลายเหลี่ยมหนึ่งอันสามารถคำนวณได้ในเวลาโดยไม่มีปัญหาเชิงตัวเลขแปลก ๆ โดยใช้อัลกอริทึมช่องทางมาตรฐานอย่างน้อยถ้ามีการระบุสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม$O(n)$

• ในทางปฏิบัติเลขทศนิยมนั้นเพียงพอที่จะคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดจนถึงความแม่นยำจุดลอยตัว ฉันสนใจเฉพาะความซับซ้อนของปัญหาที่แน่นอน

• John Canny และ John Reifพิสูจน์ว่าปัญหาที่เกี่ยวข้องใน 3-space คือ NP-hard (ในเชิงศีลธรรมเพราะอาจมีจำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็นจำนวนมาก) Joonsoo Choi, Jürgen Sellen และ Chee-Keng Yapอธิบายรูปแบบการประมาณเวลาพหุนาม

• Simon Kahan และ Jack Snoeyinkพิจารณาปัญหาที่คล้ายกันสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นทางการเชื่อมโยงขั้นต่ำในรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

บางทีฉันอาจจะพลาดบางอย่าง แต่ถ้าเราพิจารณากรณี "ง่าย" ที่อุปสรรคทั้งหมดเป็นจุดเราก็มีปัญหาในการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดยอดสองจุดในกราฟระนาบซึ่งถ้าฉันไม่ผิดก็เป็นที่รู้จักกันดี เป็นผลรวมของสแควร์รูตยาก

PS ฉันต้องการเพิ่มความคิดเห็นและไม่ใช่คำตอบ แต่ไม่สามารถหาวิธีได้ ฉันขอโทษสำหรับสิ่งนั้น ผู้ดูแลระบบได้โปรดช่วยฉันด้วยสิ่งนี้