มีกรณียาก ๆ ของ 3-SAT หรือไม่เมื่ออนุประโยคสามารถใช้ตัวอักษรที่“ ใกล้เคียง” กันเท่านั้น

ให้ตัวแปรจะx_n ระยะห่างระหว่างสองตัวแปรถูกกำหนดเป็น. ระยะห่างระหว่างสองตัวอักษรคือระยะห่างระหว่างตัวแปรสองตัวที่สอดคล้องกัน d ( x a , x b ) = | a - b $x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

สมมติว่าฉันมีอินสแตนซ์ 3-SAT เช่นนั้นสำหรับทุกประโยคเรามีสำหรับบางค่าคงไม่มีd ( x a , x b ) ≤ N ∧ d ( x a , x c ) ≤ N ∧ d ( x b , x c ) ≤ N $(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

แนวคิดคุณสามารถนึกภาพนี้ได้ว่าตัวอักษรทั้งหมดอยู่ในเส้นเดียวและประโยคทั้งหมดไม่สามารถเข้าถึงเกินกว่าความยาวที่กำหนดด้วยเหตุผลทางกายภาพ

จากข้อ จำกัด นี้มีกรณียาก ๆ ของ 3-SAT หรือไม่ ฉันสามารถสร้างละแวกใกล้เคียงและยังหาอินสแตนซ์ยากได้อย่างไร ถ้าฉันอนุญาตให้บางส่วนละเมิดข้อ จำกัด ?

โดยยากฉันหมายความว่าแก้แก้ปัญหาจะถอยกลับในกรณีที่เลวร้ายที่สุด

ไม่ได้หากอินสแตนซ์ 3 SAT มีคำสั่งแล้วคุณสามารถทดสอบ satisfiability ในเวลา เนื่องจากเป็นค่าคงที่ที่คงที่นี่เป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่แก้ปัญหาทุกกรณีของคุณO ( m 2 N ) $m$$O(m 2^N)$$N$

อัลกอริธึมทำงานเป็นระยะLetแสดงว่าสูตรที่ประกอบด้วยคำสั่งที่ใช้ตัวแปรเฉพาะจากx_1,ให้แสดงว่าชุดที่ได้รับมอบหมายเพื่อที่สามารถขยายไปถึงการกำหนดความพึงพอใจสำหรับ\โปรดทราบว่าเมื่อได้รับเราสามารถคำนวณในเวลา : สำหรับแต่ละเราลองทั้งสองวิธีสำหรับและตรวจสอบว่าเป็นไปตามข้อทั้งหมดจากที่มีตัวแปรφ i x 1 , … , x i S i ⊆ { 0 , 1 } n x i - N , x i - N + 1 , … , x i φ i S i - 1 S i O ( 2 N ) ( x i - N - 1 , … , x ฉัน$m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$$S_{i-1}$$S_i$$O(2^N)$ x ฉันφ ฉันx ฉัน ( x ฉัน- N ,..., x ฉัน ) S ฉันฉัน S ฉันเมตร S เมตร ≠∅O( 2 N )ม.O(ม. 2 N$(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$; ถ้าเป็นเช่นนั้นเราเพิ่มเพื่อS_iในเวที, th เราคำนวณS_iเมื่อเราได้เสร็จสิ้นทั้งหมดขั้นตอนตัวอย่าง 3 SAT คือพอใจและถ้าหาก\ แต่ละขั้นตอนจะใช้เวลาเวลาและมีขั้นตอนดังนั้นทั้งหมดที่ใช้เวลาN) นี่คือพหุนามในขนาดของอินพุตและดังนั้นจึงถือว่าเป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนาม$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

แม้ว่าคุณจะอนุญาตให้มีอนุประโยคจำนวนหนึ่งที่ละเมิดข้อ จำกัด แต่ปัญหาก็ยังสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้านับจำนวนคำสั่งที่ละเมิดข้อ จำกัด คุณสามารถแก้ปัญหาในเวลาเวลาโดยระบุค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตัวแปรในส่วนเหล่านั้น จากนั้นดำเนินการต่อด้วยอัลกอริทึมด้านบน เมื่อเป็นค่าคงที่คงที่นี่คือเวลาพหุนาม อาจมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นO ( m 2 ( t + 1 ) N ) $t$$O(m 2^{(t+1)N})$$t$

กราฟเหตุการณ์ของสูตร SAT เป็นกราฟสองส่วนที่มีจุดสุดยอดสำหรับแต่ละส่วนและแต่ละตัวแปร เราเพิ่มขอบระหว่างส่วนคำสั่งและตัวแปรทั้งหมด หากกราฟเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วเราสามารถตัดสินใจสูตร SAT ใน P จริง ๆ แล้วเราสามารถทำได้มากกว่านี้ กราฟเหตุการณ์ของคุณถูก จำกัด มาก เช่นมันเป็นกราฟพา ธ ที่มีขอบเขต จำกัด ดังนั้นจึงเป็นเวลาพหุนามที่สามารถแก้ไขได้ เพื่อผลลัพธ์ที่มีโครงสร้างเป็นที่รู้จักกันดีเช่นดังกล่าวข้างต้นจะดูที่: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106