จัดเรียงด้วยค่าเฉลี่ยการเปรียบเทียบ

มีอัลกอริทึมการเรียงลำดับแบบอิงการเปรียบเทียบที่ใช้ค่าเฉลี่ยของการเปรียบเทียบหรือไม่$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

การดำรงอยู่ของกรณีที่เลวร้ายที่สุดอัลกอริทึมการเปรียบเทียบเป็นปัญหาที่เปิดอยู่ แต่กรณีเฉลี่ยพอเพียงสำหรับอัลกอริทึมแบบสุ่มที่มี\ mathrm {lg} (n!) + o ( n)เปรียบเทียบทุกอินพุต ความสำคัญของ\ mathrm {lg} (n!) + o (n)คือการเปรียบเทียบจากo (n) ที่ดีที่สุดโดยสิ้นเปลืองค่าเฉลี่ยเพียงo (1)การเปรียบเทียบต่อองค์ประกอบ$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$o(n)$$o(1)$

ตั้งแต่ฉันมีขั้นตอนวิธีการดังกล่าวผมรวมถึงว่ามันเป็นคำตอบ (ใช้Q / รูปแบบ ) แต่ผมยินดีต้อนรับคำตอบเพิ่มเติมรวมทั้งขั้นตอนวิธีการอื่น ๆ ไม่ว่าจะเป็นเช่นอัลกอริทึมที่เป็นที่รู้จักอยู่แล้วในการปรับปรุง$o(n)$และ worst- กรณี$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$(n)

งานก่อนหน้า: การ
รวมแบบผสานใช้$\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)$การเปรียบเทียบ (แม้ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด)
ผสานแทรกเรียงลำดับ (หรือเรียกว่าฟอร์ดจอห์นสันเรียงลำดับ) นอกจากนี้ยังใช้$\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)$การเปรียบเทียบ แต่มีค่าคงที่มีขนาดเล็กมากใน$Θ(n)$(n)
ปรับปรุงความซับซ้อนเฉลี่ยสำหรับการจัดเรียงตามการเปรียบเทียบ (โดย Kazuo Iwama และ Junichi Teruyama) - อัลกอริธึมการแทรก (1,2) ของพวกเขาคล้ายกับคำตอบของฉันด้านล่าง

ปรับปรุง: ฉันขยายคำตอบนี้ลงในกระดาษคัดแยกกับค่าเฉลี่ยของ$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$การเปรียบเทียบ

ใช่อัลกอริทึมดังกล่าวมีอยู่ ฉันจะพิสูจน์ได้ว่าถูกผูกมัด แต่ภายใต้สมมติฐานการสุ่มแบบสุ่มเราก็จะได้ . ฉันยังพยายามที่จะอธิบายสำหรับและε})l g ( n ! ) + o ( n ) l g ( n ! ) + O ( n 1 - ε ) n 0.5 + o ( 1 ) O ( n 0.5 - ε$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$n^{0.5+o(1)}$$O(n^{0.5-ε})$

เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าองค์ประกอบทั้งหมดนั้นแตกต่างกันโดยให้คำอธิบายประกอบถ้าจำเป็น กรณีเฉลี่ยใช้องค์ประกอบที่แตกต่างในลำดับสุ่ม เราสามารถคำนวณจำนวนเฉลี่ยของการเปรียบเทียบโดยเพิ่มการสูญเสียเอนโทรปีสำหรับการเปรียบเทียบแต่ละครั้งเมื่อเทียบกับการใช้เหรียญยุติธรรม

จุดเริ่มต้นคือการเรียงลำดับการแทรกด้วยการค้นหาแบบไบนารีเพื่อตัดสินใจว่าจะแทรกองค์ประกอบถัดไปลงในชุดย่อยเรียงลำดับแล้ว เมื่อ , การแทรกใช้ที่การเปรียบเทียบส่วนใหญ่, ซึ่ง (ในแง่ของเอนโทรปี) นั้นเหมาะสมที่สุดกับปัจจัยการเติม (และสำหรับความซับซ้อนของค่าเฉลี่ย,ใช้ได้เช่นกัน) ตอนนี้เมื่อไม่ใกล้เคียงกับกำลังของ 2 การแทรกองค์ประกอบนั้นไม่ดี (แม้ในกรณีทั่วไปและไม่คำนึงถึงวิธีที่เรารักษาความสมดุลของแต่ละคำถาม) แต่ถ้าเสียการเปรียบเทียบเราสามารถคัดไปยังการกระจายแบบประมาณ ในช่วงเวลาของS ( 1 - ε ) 2 m ≤ | S | ≤ 2 m - 1 m O ( ε ) 2 m ≤ | S | ≤ ( 1 + ε ) 2 m | S | A o ( 1 ) A $S$$(1-ε)2^m ≤ |S| ≤ 2^m-1$$m$$O(ε)$$2^m ≤ |S| ≤ (1+ε) 2^m$$|S|$$A$$o(1)$$A$$S$ของความยาวใกล้เคียงกับกำลังสองเราได้รับการปรับให้เหมาะสม

เราบรรลุสิ่งนี้โดยการเพิ่มองค์ประกอบในแบทช์และบางครั้งการเปรียบเทียบองค์ประกอบของแบทช์กับแต่ละอื่น ๆ อย่างมีประสิทธิภาพเช่นช่วงเวลาของสอดคล้องกับองค์ประกอบลดลงในลักษณะกึ่งสุ่ม (และมีการกระจายความน่าจะเป็นของภายในช่วงเวลา เกือบเครื่องแบบ) และเมื่อความยาวช่วงก็พอใกล้กับอำนาจของ 2, ทำค้นหา binary แทรกS A A $S$$A$$A$$A$

โครงสร้างทั่วไป

เราจะเก็บเซตย่อยขององค์ประกอบที่เรียงลำดับแล้วและสำหรับองค์ประกอบที่ไม่เรียงลำดับแต่ละเราจะติดตามช่วงเวลาที่น้อยที่สุดของของโดยที่ทราบว่าตั้งอยู่ คือความยาวของ ; นั้นขึ้นอยู่กับช่วงเวลาS A I A S A | ฉันA | I A I A = I $S$$A$$I_A$$S$$A$$|I_A|$$I_A$$I_A=I_B$

ให้เป็น: เปรียบเทียบกับและจากนั้น (ตามลำดับแบบสุ่ม) เปรียบเทียบและกับองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของจนกระทั่งช่วงเวลาของพวกเขาเป็น disjoint (หรือมีความยาว 1) องค์ประกอบของถูกเลือก (ในลักษณะที่สอดคล้องกัน) เพื่อทำให้ความน่าจะเป็นสำหรับการเปรียบเทียบใกล้ที่สุดเท่าที่จะทำได้ 1/2 สมมติว่าเมื่อเรียกว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในI_B เนื่องจากความไม่ลงรอยกันในท้ายที่สุดคงไว้ซึ่งสมมติฐานที่เหมือนกันC o m p a r e ( A , B ) A B A B S S C o m p a r e ( A , B ) I A ⨯ I B C o m p a r $\mathrm{Compare}(A,B)$$A$$B$$A$$B$$S$$S$$\mathrm{Compare}$$(A,B)$$I_A⨯I_B$$\mathrm{Compare}$

ส่วนต่อไปนี้สามารถอ่านได้อย่างอิสระจากกัน

อัลกอริทึมA$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

รับ: เรียงรายการและชุดขององค์ประกอบที่ไม่เรียงลำดับ ; ; องค์ประกอบที่ไม่ได้เรียงลำดับเป็นญาติสุ่มSS เมตรเมตร∈ โอห์ม ( 1 ) ∩ o ( | S | ) $S$$m$$m∈ω(1)∩o(|S|)$$S$

ทำซ้ำ (1) - (3) ในขณะที่เป็นไปได้:
1. เลือกสององค์ประกอบและจากแบทช์ด้วย (ตัวเลือกใดก็ได้) 2. RunB) 3. ถ้าใกล้เคียงกับกำลัง 2 ^{(หมายเหตุ 1)}ลบออกจากแบตช์ (โดยไม่ลืม ) และทำในทำนองเดียวกันกับBในที่สุด: แทรกองค์ประกอบทั้งหมดลงในและเรียงลำดับให้เสร็จสมบูรณ์A B I A = I B C o มp a r e ( A , B ) | ฉันA $A$$B$$I_A=I_B$
$\mathrm{Compare}(A,B)$
$|I_A|$A I A$A$$I_A$$B$
$S$

หมายเหตุ 1:สำหรับ "ใกล้เพียงพอ" ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ใด ๆ(เนื่องจากฟังก์ชันของ ) ทำงานตราบเท่าที่องค์ประกอบจะถูกลบออกในขั้นตอน (4) (เป็นไปได้โดยหมายเหตุ 2) ภายใต้การสันนิษฐานแบบสุ่มสันนิษฐานการใช้ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการจับภาพองค์ประกอบอนุญาตอัลกอริทึมการเรียงลำดับการเปรียบเทียบแบบเปรียบเทียบo ( 1 ) m m - o ( m ) c log log m / log m m ( 1 - log - Θ ( c ) m ) l g ( n ! ) + O ( n log log n / log n $o(1)$$m$$m-o(m)$$c \log \log m / \log m$$m(1-\log^{-Θ(c)}m)$$\mathrm{lg}(n!)+O(n \log \log n / \log n)$

หมายเหตุ 2:เนื่องจากลำดับการเปรียบเทียบที่เหมือนกันนำไปสู่ช่วงเวลาการโยงที่เท่ากันองค์ประกอบเกือบทั้งหมดจะผ่านขั้นตอน (1)ครั้ง (ยกเว้นลบออกในขั้นตอนที่ 4) ในการเริ่มต้นถ้าและเราเลือกเราเปรียบเทียบกับองค์ประกอบและการใช้งานแต่ละขั้นตอน (3) ถึงมีความน่าจะเป็นในการลดในครั้ง ทีนี้สำหรับทุกอัตราส่วนที่ไม่ใช่พลังที่มีเหตุผลเท่ากับ 2 เรามีและเราก็จะได้Ω ( บันทึกเมตร) < B S [ ≈ ( 1 - 1 / $Ω(\log m)$$A < B$$A$$A$2 )| S| ]AO(1)| ฉันA| ≈1/(1-1/$S[≈(1-1/\sqrt{2})|S|]$$A$$O(1)$$|I_A|$2 )>1∀ε>0∀d>0∃เมตร,n∈$≈1/(1-1/\sqrt{2})$$a>1$1 - ε < a md 2 n <1+εo(n$∀ε>0 ∀d>0 ∃m,n∈\mathbb{N} \,\, 1-ε < \frac{a^m}{d2^n} < 1+ε$$o(n)$ ขอบเขต

แนวโน้มอัลกอริทึม$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$

โมดูโลสมมุติฐานการสุ่มเราสามารถบรรลุเปรียบเทียบโดยเฉลี่ยดังนี้$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$

• สุ่มสับเปลี่ยนรายการและเรียงลำดับครึ่งแรกลงในรายการขณะที่เก็บครึ่งหลังเป็นแบทช์ที่ไม่เรียงลำดับ$S$

• ทำซ้ำจนกว่าชุดเป็นที่ว่างเปล่า:
  สุ่มเลือก{} ให้\} หากเป็นที่ว่างเปล่าเอาจากชุดและใส่ลงในSมิฉะนั้น:∈ ชุดG = { B ∈ ชุด: | P ( A < B ) - 0.5 | < n - 0.51 ε } G A $A∈\text{batch}$$G = \{ B∈\text{batch}: |P(A < B) - 0.5| < n^{-0.51ε} \}$$G$$A$$S$
  

  1. หากมีเช่นนั้นที่มีความน่าจะเป็น (พูด≥0.05),ทำภายในข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของกำลัง 2, รันและหากประสบความสำเร็จ (เช่นอยู่ภายในข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของกำลัง 2) เอาจากชุดและใส่ลงในSB ∈ G Θ ( 1 ) C o m p a r e ( A , B ) | ฉันA | n - ε C o m p a r e ( A , B ) | ฉันA | n - ε A $B∈G$$Θ(1)$$\mathrm{Compare}(A,B)$$|I_A|$$n^{-ε}$$\mathrm{Compare}(A,B)$$|I_A|$$n^{-ε}$$A$$S$
     
  2. ถ้าไม่มีเช่นวิ่งสำหรับสุ่มB∈GB ∈ G C o มพีR E ( , B ) B ∈ $B∈G$$\mathrm{Compare}(A,B)$$B∈G$

ถ้าสมมติฐานการสุ่มของเราใช้งานได้ (เช่นการกระจายความยาวของช่วงเวลาและตำแหน่งสุ่มพอ) จากนั้นตลอดกระบวนการส่วนใหญ่สามารถเปรียบเทียบได้อย่างมีประสิทธิภาพเมื่อเทียบกับการเลือกองค์ประกอบ (กับความยาวช่วงเวลาต่างกัน) ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วเราสามารถเลือกการเปรียบเทียบสำหรับ (1) ด้านบนและถ้าเราโชคไม่ดีกับผลการเปรียบเทียบเรายังคงได้รับโอกาสดังนั้นการบรรลุ (ถ้ามีขนาดเล็กพอพูด 0.01) a -comparison algorithm ด้วยการเปลี่ยนแปลงและการประมาณบางอย่างการคำนวณทั้งหมดสามารถทำ quasilinear: กำหนดองค์ประกอบA n Θ ( 1 ) n Θ ( 1 ) Θ ( บันทึกn ) ε l g ( n ! ) + O ( n 1 - ε ) A $A$$n^{Θ(1)}$$n^{Θ(1)}$$Θ(\log n)$$ε$$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$A$คำนวณความยาวของช่วงเวลาที่มีแนวโน้มจากนั้นค้นหา s ด้วยความยาวกลางและช่วงเวลาโดยประมาณที่เหมาะสม$B$

มีหลายวิธีในการเพิ่มประสิทธิภาพการเปรียบเทียบ แต่อุปสรรคคือการเปรียบเทียบแต่ละครั้งอาจจบลงด้วยความโชคร้ายและเรามีการเปรียบเทียบจำนวน จำกัด หากหลังจากการปรับให้เหมาะสมแล้วทำการเปรียบเทียบโดยเฉลี่ย 4 ครั้งและ 'ประสบความสำเร็จ' ด้วยความน่าจะเป็น 1/4 เราจะได้0.09C o มพีR E ( , B ) ε ≈ ( 1 - ε ) / 4 / เข้าสู่ระบบ4 / 3 2 ≈ $\mathrm{Compare}(A,B)$$ε≈(1-ε)/4/\log_{4/3} 2 ≈ 0.09$

วิธีที่ดีกว่าอาจจะดีกว่าคือรอจนกระทั่งช่วงเวลาใกล้เคียงกับกำลังของ 2 โดยไม่ควบคุมความยาวแต่ละช่วง แต่เป็นการกระจายความยาว

ความพยายามที่อัลกอริทึม$\mathrm{lg}(n!)+n^{0.5+o(1)}$

สมมติว่าและเราจะได้รับองค์ประกอบที่ไม่มีการเรียงลำดับขององค์ประกอบมีช่วงเวลายังได้รับด้วยโดยปกติแล้วและกระจายอย่างสม่ำเสมอ (มากถึงข้อผิดพลาดแบบสุ่มและถือด้วยความแม่นยำเพียงพอแม้ว่าจะมีเงื่อนไขใน ) จากนั้นเราสามารถเรียงลำดับรายการที่สูญเสียค่าเฉลี่ยของการเปรียบเทียบดังนี้: (*) แทรกองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับเริ่มต้นrfloor}} วิธีนี้จะแทรกองค์ประกอบทั้งหมดเมื่อความยาวช่วงเวลาใกล้เคียงกับกำลังของ 2| S | = n n I A | ฉันA | n 1 - o ( 1 ) | ฉันA $|S|=n$$n$$I_A$$|I_A|$$n^{1-o(1)}$2 ⌊ l g | ฉันA | ⌋ A<S[i]n0.5+o(1)| ฉันA$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$$A < S[i]$$n^{0.5+o(1)}$
$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$

ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับจะได้รับ: สุ่มสับเปลี่ยนรายการและจัดเรียงครึ่งแรกSหากต้องการแทรกครึ่งหลังให้ทำการกระจายสิทธิ์และทำ (*) ด้านบน$S$

ในการสร้างกระจายถูกต้องเราสามารถทำการแจกแจงแบบสุ่มและจากนั้นหักส่วนที่ถูกต้องขององค์ประกอบสำหรับแต่ละขณะสุ่มส่วนที่เหลือ (ทำซ้ำหากจำเป็น) อย่างไรก็ตามในขณะนี้ควรแก้ไขทั่วโลกเราไม่ทราบว่าสามารถควบคุมได้ในระดับท้องถิ่นด้วยความแม่นยำที่ต้องการหรือไม่ (ด้วยเหตุนี้คำว่า "ความพยายาม" ด้านบน)$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$$|I_A|/2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}$$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$

ในการสร้างการกระจายแบบสุ่มเราสามารถใช้กับยกเว้นว่าด้วยเริ่มต้นเหมือนกันทั้งหมดเราไม่คาดหวังการสุ่มที่ความลึก sublogarithmic (เช่นมีนานพอ) แต่ผมคาดว่าเราจะได้รับการสุ่มที่ระดับความลึก sublogarithmic ใช้ generalizations (อาจใด ๆ ทางเลือกที่เหมาะสมจะทำงาน) ของเพื่อองค์ประกอบ: ถ้าเราให้องค์ประกอบพันกันยุ่ง (เช่น เชื่อมต่อโดยใช้ผลการเปรียบเทียบ) เราควรจะมีเกี่ยวกับ noncommuting ทางเลือกสำหรับแต่ละเปรียบเทียบกับSสิ่งนี้ควรอนุญาต$\mathrm{Compare}(A,B)$$P(A < B)≈0.5$$I_A$$I_A$$\mathrm{Compare}$$k=ω(1)$$k=ω(1)$$k$$S$$O(\log_k n + \log k)$ความลึกของการสุ่มตามที่ต้องการ (สมมติว่าไม่ใหญ่เกินไปเนื่องจากเราต้องการความลึกเพื่อเบี่ยงเบนองค์ประกอบต่าง ๆ ) ผมคาดหวังว่าการประมวลผลที่สามารถทำ quasilinear ถ้าใช้ขนาดเล็กพอที่k$k$$Θ(\log k)$$k$

เนื่องจากการเปรียบเทียบกับใช่ความน่าจะเป็นเพียงแค่ทำให้เสียเอนโทรปีการสุ่มเริ่มต้นและความไม่สม่ำเสมอขององค์ประกอบในช่วงเวลาที่ จำกัด นั้นจะต้องมีขยะเอนโทรปี หากการกระจายรูปร่างประสบความสำเร็จเพียงพอพอเอนโทรปีของเสียส่วนใหญ่เกิดจากช่วงความยาวช่วงไม่ตรงกันระหว่าง (*) (ดังนั้น )$1/2+n^{-0.5}$$O(1/n)$$n^{o(1)}$$n^{0.5+o(1)}$

เป็นไปได้รวมกัน:$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{0.5-ε})$ หากการกระจายรูปร่างทำงานได้ดีพอและเราทำให้ขนาดแบทช์เท่ากับและ คัดสรรองค์ประกอบใน (*) (ด้านบน) เราสามารถแทรกทั้งหมดยกเว้นองค์ประกอบเหล่านี้ที่มีขยะเอนโทรปีดังนี้ แยกเป็นเกือบเท่ากันทุกช่วงเวลาและเมื่ออยู่ระหว่างการแทรกจะหยุดตามช่วงเวลาปฏิเสธ (เช่นยกเลิกการแทรก) ถ้าช่วงเวลานั้นยาวเกินไปจึงลดความผันแปรของความยาวของช่วงเวลาเหล่านี้$|S|+n^{0.5+ε}$$≈n^{0.5+ε}$$≈n^{0.5+ε}$$n^{0.5-ε/2+o(1)}$$S$$n^ε$$I_A$$Θ(n^{ε/2})$คูณด้วยซึ่งจะลดความผันแปรของความยาวแบบสุ่มช่วงในครั้งตามต้องการ ตอนนี้เราสามารถใช้อัลกอริทึมในการแทรกองค์ประกอบที่เหลือด้วยหากมีขนาดเล็ก พอ.$n^{1-o(1)}$$n^{ε/2-o(1)}$$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$O(n^{0.5-ε'})$$ε$

ความซับซ้อนของการเรียงลำดับที่แย่ที่สุด: เป็นไปได้ มากที่สุดที่มีอัลกอริทึมการเรียงด้วยการเปรียบเทียบกรณีที่แย่ที่สุด สำหรับการหาค่ามัธยฐานมีช่องว่างเชิงเส้นระหว่างการเปรียบเทียบกรณี (เปรียบเทียบ) และกรณีที่เลวร้ายที่สุด (อย่างน้อยการเปรียบเทียบ) อย่างไรก็ตามสำหรับการเรียงลำดับมีอิสระมากมายสำหรับการจัดเรียงการเปรียบเทียบและการค้นหาอัลกอริทึมการเรียงลำดับใหม่$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$1.5n+o(n)$$(2+ε)n-O(1)$