การเรียงลำดับการเปรียบเทียบแบบสุ่มที่เหมาะสมที่สุด

ดังนั้นเราทุกคนรู้ว่าต้นไม้เปรียบเทียบเปรียบเทียบของจำนวนการเปรียบเทียบที่แย่ที่สุดโดยอัลกอริธึมการเรียงลำดับการเปรียบเทียบ ไม่สามารถใช้กับการเรียงลำดับการเปรียบเทียบแบบสุ่ม (ถ้าเราวัดการเปรียบเทียบที่คาดไว้สำหรับอินพุตกรณีที่แย่ที่สุด) ตัวอย่างเช่นสำหรับn = 4ขอบเขตล่างที่กำหนดขึ้นคือการเปรียบเทียบห้าแบบ แต่อัลกอริธึมแบบสุ่ม (สุ่มเปลี่ยนทิศทางอินพุตจากนั้นใช้การเรียงแบบผสาน) ทำได้ดีกว่าโดยมี4 $\lceil\log_2 n!\rceil$$n=4$เปรียบเทียบความคาดหวังสำหรับอินพุตทั้งหมด$4\frac{2}{3}$

ผูกพันโดยไม่มีเพดานจะยังคงใช้ในกรณีที่สุ่มโดยข้อโต้แย้งข้อมูลทฤษฎีและมันสามารถทำให้แน่นเล็กน้อยถึง k + 2 ( n ! - 2 k$\log_2 n!$ สิ่งนี้ตามมาเพราะมีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดที่สุ่มอนุญาตการป้อนข้อมูลจากนั้นใช้ต้นไม้ตัดสินใจ (กำหนดขึ้น) และต้นไม้ตัดสินใจที่ดีที่สุด (ถ้ามี) เป็นต้นไม้ที่ใบไม้ทั้งหมดอยู่ในสองระดับติดต่อกัน

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีสิ่งใดที่รู้เกี่ยวกับขอบเขตของปัญหานี้ สำหรับทุกจำนวนสุ่มของการเปรียบเทียบ (ในความคาดหวังสำหรับการป้อนข้อมูลที่เลวร้ายที่สุดกรณีสำหรับขั้นตอนวิธีการที่ดีที่สุด) อยู่เสมออย่างเคร่งครัดดีกว่าขั้นตอนวิธีการกำหนดที่ดีที่สุด (เป็นหลักเพราะn !ไม่เคยมีอำนาจของทั้งสอง) . แต่จะดีกว่ามากแค่ไหน?$n>2$$n!$

เนื่องจากคำถามของคุณคือ: "อะไรที่เป็นที่รู้จัก นี่คือบางสิ่ง:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$$c$