มีอัลกอริทึมที่ค้นหาผู้เยาว์ต้องห้ามหรือไม่?

ทฤษฎีบทโรเบิร์ตมัวร์กล่าวว่าครอบครัวใด ๆ รองลงมาปิด $\mathcal G$ ของกราฟสามารถจำแนกตามผู้เยาว์ที่ต้องห้ามหลายคน

มีอัลกอริทึมสำหรับอินพุตหรือไม่ $\mathcal G$ ส่งผลให้ผู้เยาว์ต้องห้ามหรือสิ่งนี้ไม่สามารถตัดสินใจได้?

เห็นได้ชัดว่าคำตอบอาจขึ้นอยู่กับว่า $\mathcal G$ อธิบายไว้ในอินพุต ตัวอย่างเช่นถ้า $\mathcal G$ มอบให้โดย $M_\mathcal G$ ที่สามารถตัดสินใจเป็นสมาชิกเราไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าจะเป็นอย่างไร $M_\mathcal G$ เคยปฏิเสธอะไร ถ้า $\mathcal G$ ได้รับจากผู้เยาว์ที่ต้องห้ามจำนวนมาก - ดีนั่นคือสิ่งที่เรากำลังมองหา ฉันอยากรู้อยากเห็นรู้คำตอบถ้า $M_\mathcal G$ รับประกันว่าจะหยุดในใด ๆ $G$ ในระยะเวลาที่แน่นอน $|G|$ . ฉันสนใจในผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องด้วยเช่นกัน $\mathcal G$ ได้รับการพิสูจน์ว่ามีการปิดเล็กน้อยพร้อมกับใบรับรองอื่น ๆ (เช่นในกรณีของ $TFNP$ หรือหลักฐานไม่ถูกต้อง )

อัปเดต: คำถามแรกของฉันกลายเป็นเรื่องง่ายมากตามแนวคิดของ Marzio และ Kimpel ให้พิจารณาการก่อสร้างต่อไปนี้ $M_\mathcal G$ ยอมรับกราฟบน $n$ จุดยอดถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $M$ ไม่หยุด $n$ ขั้นตอน นี่เป็นเล็กน้อยปิดและเวลาทำงานขึ้นอยู่กับ $|G|$ .

graph-theory decidability graph-minor

— domotorp
แหล่งที่มา

ถ้า

G

$\mathcal G$ ถูกแสดงโดย TM ที่หยุดทำงานเสมอ

M_{G}

$M_\mathcal G$ คุณสามารถลดปัญหาการหยุดชะงักได้:

M

$M$ สร้าง

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ ผลลัพธ์นั้นจะเป็นใช่ถ้าหากเท่านั้น

M

$M$ หยุดเลย

x

$x$ ขั้นตอน (

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$ คือการแจกแจงกราฟมาตรฐาน)

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งรายการที่ต้องห้ามอย่างมาก

G

$\mathcal G$ เป็นครอบครัวรองลงมา ดังนั้นปัญหาจะไม่สามารถตัดสินใจได้

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel: Ops ฉันเข้าใจผิดคำถาม บางทีการแก้ไขคือ:

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ ค้นหาครั้งแรก

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$ ดังนั้น

M

$M$ หยุดเลย

i

$i$ ขั้นตอนนั้นยอมรับถ้า

G_{i}

$G_i$ ไม่ได้เป็นรายย่อย

G_{x}

$G_x$ ; ปฏิเสธเป็นอย่างอื่น

— Marzio De Biasi

@Marzio ใช่เพื่อลดความซับซ้อน:

M_{G}

$M_\mathcal G$ ยอมรับกราฟบน

n

$n$ จุดยอดถ้าและเฉพาะในกรณีที่

M

$M$ ไม่หยุด

n

$n$ ขั้นตอน นี่เป็นเล็กน้อยปิดและเวลาทำงานขึ้นอยู่กับ

| G |

$|G|$ .

— domotorp

ฉันแปลว่าหยุดถ้า

M

$M$ หยุดพัก

2

$2$ ขั้นตอนจากนั้นเราก็บอกว่ามันหยุด

3

$3$ ขั้นตอน

— domotorp

@domotorp เนื่องจากงานก่อสร้างของคุณ (ถ้าฉันไม่เข้าใจผิด) และตอบคำถามของคุณ (และตั้งแต่ Marzio De Biasi และฉันพยายามหางานก่อสร้างที่ไม่ประสบความสำเร็จมาก่อน) ฉันคิดว่าคุณควรเปลี่ยนงานก่อสร้างของคุณให้เป็น คำตอบที่เหมาะสม คุณสามารถทำให้เป็นชุมชนวิกิถ้าคุณรู้สึกไม่สบายใจเกี่ยวกับการตอบคำถามของคุณเอง หรือคุณสามารถแก้ไขคำถามและเพิ่มคำตอบได้

— โทมัสคลิมเพล

คำตอบโดย Mamadou Moustapha Kanté (ผู้ทำปริญญาเอกของเขาภายใต้การกำกับดูแลของ Bruno Courcelle) กับคำถามที่คล้ายกันอ้างถึงหมายเหตุเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณของชุดการอุดตันของกราฟย่อยสำหรับอุดมคติอันดับสองของ Monadic (1997) โดย B. Courcelle, R. Downey M. Fellows สำหรับผลลัพธ์ที่ไม่สามารถคำนวณได้ (สำหรับคลาสกราฟกราฟที่สามารถกำหนดได้ของ MSOLเช่นคลาสที่กำหนดโดยสูตรลำดับที่สองของ Monadic) และสิ่งกีดขวางของชุดกราฟที่ปิดเล็กน้อยที่กำหนดโดยไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท (1998) โดย B . Courcelle และ G. Sénizerguesสำหรับผลลัพธ์การคำนวณ (สำหรับคลาสกราฟที่กำหนด HR ได้เช่นคลาสที่กำหนดโดยไวยากรณ์ Hyperedge Replacement)

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างกรณีที่คำนวณได้และกรณีที่ไม่สามารถคำนวณได้คือคลาสกราฟที่กำหนดค่า HR แบบไม่ปิด (ปิดเล็กน้อย) ในขณะที่ (ระดับเล็กน้อยปิด) คลาสกราฟที่สามารถนิยามได้ MSOL ไม่จำเป็นต้องมีขอบเขตแบบ treewidth ในความเป็นจริงถ้าคลาสกราฟที่สามารถกำหนดได้ MSOL (ปิดเล็กน้อย) ได้ จำกัด การทวีคูณดังนั้นมันก็เป็น HR-definable

ความน่าเชื่อถือดูเหมือนจะเป็นส่วนสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแยกการคำนวณจากกรณีที่ไม่สามารถคำนวณได้ อีกผลที่ทราบกันแล้ว (โดย M. Fellows และM􏰊.􏰊 Langston) โดยทั่วไปบอกว่าถ้ามีขอบเขตสำหรับความกังวลสูงสุด (หรือความกว้างของเส้นทาง) ของชุด จำกัด ของผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้นนั้นเป็นที่รู้กันแล้ว คำนวณได้

ไม่รู้ว่าแม้แต่น้อย (จำกัด ) รวมกลุ่มผู้เยาว์ยกเว้น (ซึ่งเป็นเรื่องเล็กน้อย - ปิด) ของผู้เยาว์ - ปิดกราฟสองชั้นแต่ละคนได้รับจากการ จำกัด ของแต่ละกลุ่มจะได้รับการยกเว้นถ้าไม่มีข้อมูล เกี่ยวกับ treewidth (หรือความกว้างของพา ธ ) สามารถใช้ได้ หรืออาจได้รับการพิสูจน์ในขณะเดียวกันว่าไม่สามารถคำนวณได้โดยทั่วไป

— โทมัสคลิมเพล
แหล่งที่มา

ส่วนสุดท้ายนี้ค่อนข้างน่าสนใจ หากเข้าใจดีนี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้ สำหรับครอบครัวกราฟ

G

$\mathcal G$ แสดงโดย

m (G)

$m(\mathcal G)$ ขนาดของสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ต้องห้ามที่สุดที่ใหญ่ที่สุด ปล่อย

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ . จากนั้นก็ไม่มีใครรู้ว่าขอบเขตบนวนซ้ำ

f (n)

$f(n)$ . คุณรู้ตัวอย่างที่แสดงว่า

f (n)

$f(n)$ เติบโตเร็วมาก

— domotorp

@domotorp ฉันเห็นด้วยจุดดี ฉันมีความคิดบางอย่างสำหรับตัวอย่างดังกล่าว แต่ฉันรู้สึกว่าอัตราการเติบโตของตัวอย่างทั้งหมดของฉัน (ซึ่งโดยทั่วไปพยายามเล่นกับมิติ "กริด") จะยังคงอยู่ในองค์ประกอบ อย่างไรก็ตามฉันเชื่อว่าถ้าฉันต้องการใช้เวลากับคำถามเหล่านั้นฉันควรศึกษาวรรณกรรมก่อนว่าเกิดอะไรขึ้นในช่วงปี 2543-2561 บางทีโดยดูจากเอกสารที่อ้างถึงเอกสารที่ฉันรู้หรือดู ในภายหลังสิ่งพิมพ์ของผู้เขียนซึ่งทำงานกับคำถามเหล่านั้น

— โทมัสคลิมเพล

ฉันเห็น - ดีฉันไม่หมดหวังที่จะรู้คำตอบเพียงแค่ผมประหลาดใจและกลายเป็นอยากรู้อยากเห็น ...

— domotorp

@domotorp ชุดผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้นน้อยที่สุดได้ถูกแสดงให้เห็นว่าสามารถคำนวณได้ในปี 2008: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Preations/ …

— Thomas Klimpel