ทำความเข้าใจเกี่ยวกับหลักฐานการฟื้นฟูที่แข็งแกร่งของแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้าง

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจหลักฐานของการทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่งสำหรับแคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง ฉันพยายามติดตามหลักฐานในกระดาษของ Herman Geuvers "หลักฐานสั้นและยืดหยุ่นของการทำให้ปกติแข็งแกร่งสำหรับแคลคูลัสของการก่อสร้าง"

ฉันสามารถติดตามเหตุผลหลักในการให้เหตุผลได้ดี Geuvers สร้างสำหรับแต่ละประเภท $T$ การตีความอยู่บนพื้นฐานของการประเมินผลของประเภทตัวแปรบางalpha) จากนั้นเขาก็สร้างคำศัพท์ตีความตามการประเมินผลของคำศัพท์ตัวแปรและพิสูจน์ให้เห็นว่าการประเมินผลที่ถูกต้องสำหรับการยืนยันสำหรับทุกถือ $[\![T]\!]_\xi$ $\xi(\alpha)$ $(\!|M|\!)_\rho$ $\rho(x)$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $\Gamma\vdash M:T$

ปัญหาของฉัน: สำหรับประเภทง่าย ๆ (เช่นประเภทระบบ F) การตีความประเภทเป็นชุดคำศัพท์จริงๆดังนั้นการยืนยันเข้าท่า แต่สำหรับประเภทที่ซับซ้อนกว่านี้การตีความไม่ใช่ชุดคำศัพท์ แต่เป็นชุดของฟังก์ชันของพื้นที่ฟังก์ชันที่เหมาะสม ฉันคิดว่าฉันเกือบจะเข้าใจการสร้างช่องว่างของฟังก์ชั่นอย่างไรก็ตามมันไม่สามารถกำหนดความหมายใด ๆ ให้กับสำหรับความซับซ้อนมากขึ้น ประเภทT $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $T$

ใครสามารถอธิบายหรือให้ลิงก์ไปยังงานนำเสนอหลักฐานที่เข้าใจได้บ้าง?

แก้ไข: ให้ฉันพยายามทำให้คำถามชัดเจนขึ้น บริบทมีการประกาศสำหรับตัวแปรประเภทและตัวแปรวัตถุ การประเมินค่าประเภทนั้นถูกต้องหากสำหรับทั้งหมดด้วยดังนั้นถูกต้อง แต่สามารถเป็นองค์ประกอบของและไม่เพียง แต่SATดังนั้นการประเมินผลระยะไม่ถูกต้องสามารถกำหนดสำหรับalpha) ต้องเป็นคำศัพท์และไม่ใช่ฟังก์ชันของพื้นที่ฟังก์ชัน $\Gamma$ $\alpha:A$ $(\alpha:A) \in \Gamma$ $\Gamma\vdash A:\square$ $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ $\nu(A)$ $(SAT)^*$ $SAT$ $\rho(\alpha)$ $\rho(\alpha)$

แก้ไข 2: ตัวอย่างที่ใช้งานไม่ได้

มาสร้างค่าที่ถูกต้องต่อไปนี้:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

ในบริบทสุดท้ายการประเมินผลประเภทที่ถูกต้องจะต้องตอบสนอง $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$ . สำหรับการประเมินผลประเภทนี้ไม่มีการประเมินคำที่ถูกต้อง

— เฮลมุท
แหล่งที่มา

คนครึ่งหนึ่งที่อ่านข้อความนี้จะคิดว่า

S A T

$SAT$ คือ SAT คุณควรอธิบายว่ามันคืออะไร นอกจากนี้การสืบทอดของคุณก็ดูแปลก ๆ บรรทัดที่สองไม่ควรพูดถึง

α

$\alpha$ ในบทสรุปของมันมัน shoudl อ่านบางสิ่งบางอย่างเช่น

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$ มันไม่ควร?

— Andrej Bauer

ฉันใช้สัญลักษณ์ของ Herman Geuvers (ซึ่งดูเหมือนจะเป็นมาตรฐานในโดเมนนี้)

SAT

$\text{SAT}$ เป็นเซตของชุดแลมบ์ดาที่แสดงออกมาอย่างอิ่มตัว สำหรับบรรทัดที่สองของการสืบทอดของฉัน: กฎการแนะนำสำหรับตัวแปรของระบบประเภทล้วน กฎนี้อ่าน

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$ ที่ไหน

s

$s$ จัดเรียงบางอย่าง

— helmut

ฉันเข้าใจว่าคุณได้บรรทัดที่สอง แต่มันไม่ใช่หลักฐานที่ถูกต้องสำหรับการก่อตัวของบรรทัดที่สามใช่มั้ย กฎอะไรให้บรรทัดที่สาม

— Andrej Bauer

กฎการก่อตัวผลิตภัณฑ์ของ PTS พูดว่า

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$ . แคลคูลัสของการก่อสร้างมีกฎ

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$ . สิ่งนี้ทำให้ฉันใช้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองเพื่อหาค่าที่สาม อย่างไรก็ตามฉันมีการพิมพ์ผิดในโพสต์ของฉัน ประเภทในบรรทัดที่สามหายไปซึ่งฉันเพิ่มตอนนี้

— helmut

ไม่ควรอ่านบรรทัดแรก

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$ ? หรือว่าคุณมั่ว

*

$*$ และ

◻

$\Box$ บางแห่ง? บรรทัดที่สองไม่สามารถเป็นหลักฐานที่สองสำหรับกฎการสร้างผลิตภัณฑ์เนื่องจากนั่นหมายความว่าคุณกำลังพยายามสร้างสิ่งที่ต้องการ

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$ แทน

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$ .

— Andrej Bauer

น่าเสียดายที่ฉันไม่แน่ใจว่ามีทรัพยากรที่เป็นมิตรสำหรับผู้เริ่มต้นมากกว่าบัญชีของ Geuvers คุณอาจลองบันทึกย่อนี้จาก Chris Casinghino ซึ่งให้การพิสูจน์หลายรายการในรายละเอียดที่ระทมทุกข์

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจความสับสนของคุณ แต่ฉันคิดว่าสิ่งสำคัญที่ควรทราบคือบทแทรก (Corollary 5.2.14) ซึ่งได้รับการพิสูจน์ในข้อความ Barendregt คลาสสิค :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

ซึ่งหมายความว่าในขณะที่ $[\![T]\!]_\xi$ อาจเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนบางอย่างถ้า $\Gamma \vdash M:T$ ถือแล้ว $[\![T]\!]_\xi$ จะต้องมีชุดของเงื่อนไข

สิ่งนี้ถูกสอดแทรกในโครงร่าง (ส่วน 3.1) โดยที่ $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ เพียงแค่ $\Gamma \vdash t:T :*$ ซึ่งสอดคล้องกับความคาดหวังของเราซึ่งการตีความประเภทต้องเป็นชุดคำเช่น ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ (ที่จริง ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$ !)

มันเป็นสถานการณ์ทั่วไปในทฤษฎีประเภทที่แม้ว่าเราสนใจเพียงแค่"ประเภทฐาน" (ที่นี่ $*$ ) เรายังต้องกำหนดความหมายสำหรับสิ่งต่าง ๆ ที่สูงกว่า (ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแนะนำ $\mathrm{SAT}^*$ ) สิ่งที่ได้ผลในตอนท้ายเพราะประเภทที่อาศัยอยู่ตามประเภทเท่านั้น $*$ (และ $\square$ แต่นั่นไม่สำคัญจริงๆ)

— Cody
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำอธิบาย นี่เป็นการแก้ปัญหาของฉันที่ไม่เข้าใจฟังก์ชั่นที่ใช้ในการพิสูจน์ของ Geuver ฉันมีความสงสัยในการอ่านและอ่านกระดาษของ Geuver แล้ว แต่คุณทำให้มันชัดเจน

— มุท